Ajuste de una función exponencial a los datos

Question

Tengo un conjunto de datos ruidosos (la línea gris en el gráfico de abajo) que corresponde aproximadamente a $y=m(1-2^{-x/k})$ donde m y k son constantes desconocidas.

¿Cómo puedo determinar el valor más adecuado de m y k ?

Puedo obtener un valor aproximado de k al adivinar m y luego hacer una regresión lineal sobre $-\log_2(1-y/m)$ ... con esto estimo m \=0,96 y k \=1000 (véanse las líneas punteadas rojas y azules de arriba), pero ¿hay una forma más sistemática?

Gracias de antemano.

Answer 1

¿Por qué no hacer mínimos cuadrados no lineales a través de Levenberg-Marquardt en lugar de juguetear con las linealizaciones? Existe la lsqnonlin() función disponible en MATLAB a través de la caja de herramientas de optimización. Tendrá que calcular unos buenos valores de partida para $m$ y $k$ Aunque esa LM puede pulir una respuesta (esperemos) adecuada.

Answer 2

Hice esto artículo tutorial sobre los métodos de mínimos cuadrados lineales y no lineales.

Answer 3

Otro método es realizar una transformada de Laplace sobre los datos para transformar la función en una función racional. En general, se puede aplicar un ajuste polinómico y luego utilizar el método de aproximación de Padé para escribirlo como una función racional de la forma deseada, pero en este caso no necesitamos hacerlo, como veremos a continuación.

Como las transformadas de Laplace implican una integral de cero a infinito, tenemos que imponer un corte. En este caso, esto requiere multiplicar los datos por una exponencial $\exp(-\lambda x)$ donde usted elige $\lambda$ de tal manera que en $x = 8000$ la función está cerca de cero mientras que todavía tiene un rango justo para $x$ donde la función no es pequeña. Por ejemplo, tomando $\lambda = \frac{1}{1500}$ debería dar un buen resultado. Un corte en $x = 8000$ puede entonces imponerse con un error insignificante.

Por lo tanto, queremos hacer un ajuste utilizando una función de la forma:

$$f(x) = m\left[\exp(-\lambda_1 x) - \exp(-\lambda_2 x)\right]$$

La transformada de Laplace de esto es:

$$\hat{f}(s) = m\frac{\lambda_2 - \lambda_1}{(s+\lambda_1)(s+\lambda_2)}$$

Esto significa que hacer un ajuste cuadrático a $\frac{1}{\hat{f}(s)}$ dará lugar a los parámetros $m$ , $\lambda_1$ y $\lambda_2$ .