De fondo
Actualmente estoy tomando un curso en teoría de números y el siguiente problema se acercó.
Problema
Encontrar todos los triángulos rectángulos donde el pequeño lados difieren por uno.
Mi Intento
Deje $\Delta ABC$ ser mi triángulo con lados de $a,b,c\in\Bbb N$$a^2+b^2=c^2$. Sin pérdida de generalidad podemos suponer $a<b$, y por lo tanto $b=a+1$.
Esto le da la siguiente ecuación: $2a^2+2a+1=c^2$, que es lo que todavía no puede usar. Al leer la pregunta sobre el sitio, un usuario llegue a $a=\sqrt{b+c}$ cuando asumen $b=a+1$. No explica cuál es el proceso para llegar allí.
Traté de obtener una solución, pero no puede conseguir alrededor de las ecuaciones. La mayoría de los llegué a se $b^2-a^2=a+b$.
Ahora parametrización un de los lados de recibir:
$ \begin{align} (a,b,c) &= (m^2-n^2,2mn,m^2+n^2) \\ &= (m^2-n^2,m^2-n^2+1,m^2+n^2) \\ & =(2mn-1,2mn,m^2+n^2) \end{align} $
Cuando me conecte esta soluciones en la identidad Pitagórica, tengo curvas con grado de $4$, lo que yo no puedo resolver por cualquiera de las dos variables. Incluso si me conecta en Mathematica, puedo obtener soluciones con números irracionales.
¿Cómo puedo encontrar una solución a las ecuaciones? Por ejemplo, una de las curvas es
$$m^4+n^4+6(mn)^2-4mn+1=0$$
A la hora de resolver, tengo una solución radical y no sé cómo asegurarse de que es un entero.
Cualquier sugerencias o comentarios son muy apreciados.
