¿Cuándo se retrae la deformación del espectro primario en el espectro máximo?

Question

¿Para qué anillos es el espectro máximo una deformación retráctil del espectro primario?

Por ejemplo, un comentario a la respuesta a esta pregunta del modus operandi menciona que es el caso si tomamos el anillo como el anillo de las funciones continuas (reales) en un espacio métrico compacto y conectado. ¿Cuáles son algunos otros ejemplos y condiciones más generales?

Answer 1

Añadido : Lo siento, escribí esta respuesta bastante tarde en la noche e ignoré completamente la palabra "deformación" en la pregunta. Esto responde a la versión de la pregunta con "retractarse" en lugar de "deformación retractarse". Las dos cosas no son en general lo mismo (por ejemplo, cada espacio topológico se retrae en cada uno de sus puntos). Aún así esta respuesta da las condiciones necesarias para una retracción de deformación, al menos, y espero que sea de alguna utilidad.

Esta clase de anillos se llama Anillos de Gelfand . La propuesta 1.3 de este documento de 2006 de W.W. McGovern da varias condiciones equivalentes. Reproduciré las cuatro primeras:

Propuesta : Para un anillo conmutativo $R$ los siguientes son equivalentes:
i) Todo el ideal primordial de $R$ está contenida exactamente en un ideal máximo.
ii) $ \operatorname {Spec} R$ es un espacio topológico normal (no necesariamente Hausdorff).
iii) $ \operatorname {MaxSpec} R$ es un retrato de $ \operatorname {Spec} R$ .
iv) Para todos $x \in R$ hay $r,s \in R$ de tal manera que $(1+rx)(1+s(1-x)) = 0$ .

Muchas de las pruebas te remiten a un documento de 1971 de De Marco y Orsatti.

Aquí es un artículo relacionado muy útil de Banaschewski. En particular, Banaschewski verifica directamente la condición un tanto extraña (iv) para la clase $C(X)$ de anillos de funciones continuas y de valor real en un espacio compacto de Hausdorff. Esta es (una moderada generalización de) la clase de anillos que mencionas, y de hecho la nomenclatura aquí es una alusión a la dualidad de Gelfand entre los espacios compactos de Hausdorff $X$ y $C(X)$ (a saber, que el mapa canónico $X \rightarrow \operatorname {MaxSpec} C(X), \ x \mapsto \mathfrak {m}_x = \{f \in C(X) \mid f(x) = 0\}$ es un homeomorfismo). Obsérvese que la condición iv) también deja claro que los anillos de Gelfand son finamente axiomatizables en el lenguaje de primer orden de los anillos y, por lo tanto, se cierran bajo ultraproductos y equivalencia elemental.

Añadido a continuación : Siguiendo a Eric Wofsey, creo que en este caso obtenemos una retracción de la deformación cada vez que tenemos una retracción. A saber, si $R$ es un anillo de Gelfand y $r: \operatorname {Spec} R \rightarrow \operatorname {MaxSpec} R$ envía cada ideal primario al único ideal máximo que lo contiene (por cierto, este es el único retracción), entonces $H: \operatorname {Spec} R \times [0,1] \rightarrow \operatorname {Spec} R$ dado por $H( \mathfrak {p},t) = \mathfrak {p}$ para todos $t \in [0,1)$ y $H( \mathfrak {p},1) = r( \mathfrak {p})$ es continuo! De hecho, para cualquier subconjunto cerrado $Z \subset \operatorname {Spec} R$ Tenemos $H^{-1}(Z) =$

$$Z \times [0,1) \cup r^{-1}(Z \cap \operatorname {MaxSpec} R) \times \{1\} = Z \times [0,1] \cup r^{-1}(Z \cap \operatorname {MaxSpec} R) \times \{1\},$$

que está cerrado. Así que bastante fortuitamente parece que mi respuesta original es correcta.