Ecuación de ondas frente a ecuación de Helmholtz

Question

Primero tengo que decir que mi formación en física es limitada, así que espero que no sea una pregunta sin sentido.

Estoy tratando de entender la conexión entre la ecuación de onda

$$\partial_{tt} u - c^2 \Delta u = f \tag{W}\label{W}$$

y la ecuación de Helmholtz

$$\Delta U + k^2 U= -\frac{1}{c^2} F. \tag{H}\label{H} $$

Creo que intuyo bastante bien cómo la ecuación de onda $\eqref{W}$ funciona:

Si estimulamos nuestro medio con algún $f$ esta "información" se propaga en todas direcciones con una cierta velocidad $c$ .

Entonces leí que la ecuación de Helmholtz se deduce suponiendo que

$$u(x,t) = U(x)e^{-i\omega t} \tag{*}\label{*}$$

(y de forma similar $f(x,t) = F(x)e^{-i\omega t}$ ) que, al conectarse a $\eqref{W}$ resulta en $\eqref{H}$ para $k = \frac{\omega}{c}$ .

Pero no veo cómo esto codifica algún tipo de propagación como en $\eqref{W}$ . Esto me lleva a mi primera pregunta:

¿En qué situación física la suposición $\eqref{*}$ ¿Tiene sentido?

Entonces también leí que para $F=0$ una solución de $\eqref{H}$ describe un modo de oscilación. Mirando imágenes de soluciones vi cómo esto muestra, por ejemplo, cómo vibra una membrana o una cuerda. Pero parece que esto sólo funciona para algunos $\omega$ (en el ejemplo de la cuerda se necesitan nodos en la frontera) Pero lo que no entiendo de esto es

¿Cómo se $\omega$ ¿determinado o definido?

Answer 1

El paso de la ecuación de onda completa dependiente del tiempo $(\mathrm{W})$ a la ecuación de Helmholtz $(\mathrm{H})$ no es ni más ni menos que una transformada de Fourier. Para funciones suficientemente regulares, tanto $u$ y $F$ pueden escribirse como superposiciones de campos monocromáticos, es decir, ambas son transformadas de Fourier de la forma $$ u(x,t) = \int_{-\infty}^\infty U(x,\omega) e^{-i\omega t} \mathrm d\omega \quad\text{and} \quad f(x,t) = \int_{-\infty}^\infty F(x,\omega) e^{-i\omega t} \mathrm d\omega, $$ donde los coeficientes temporales de Fourier $U(x,\omega)$ y $F(x,\omega)$ dependen de la posición - o, cambiando de perspectiva, nos dan funciones de $x$ para cada $\omega$ . Ahora, todo lo que hemos hecho hasta ahora es una elegante reescritura de nuestras variables, pero hay dos aspectos cruciales de la ecuación de onda que hacen que esto sea útil:

• es lineal, y
• la única dependencia del tiempo es a través de $\partial_t^2$ que es un operador lineal cuyas funciones propias son precisamente el núcleo de Fourier, es decir $\partial_t^2 e^{-i\omega t} = -\omega^2 e^{-i\omega t}$ .

La linealidad nos permite introducir los operadores lineales de la ecuación de onda hasta los coeficientes de Fourier, y la relación de valores propios para $\partial_t$ nos permite cambiar esa diferenciación parcial por un factor algebraico en ese sector, lo que nos da \begin{align} 0 & = -\partial_{t}^2 u(x,t) + c^2 \nabla^2 u(x,t) + f(x,t) \\ & = -\partial_{t}^2 \int_{-\infty}^\infty U(x,\omega) e^{-i\omega t} \mathrm d\omega + c^2 \nabla^2 \int_{-\infty}^\infty U(x,\omega) e^{-i\omega t} \mathrm d\omega + \int_{-\infty}^\infty F(x,\omega) e^{-i\omega t} \mathrm d\omega \\ & = \int_{-\infty}^\infty \left[ -U(x,\omega) \partial_{t}^2 e^{-i\omega t} + c^2 \nabla^2 U(x,\omega) e^{-i\omega t} + F(x,\omega) e^{-i\omega t} \vphantom{\sum}\right]\mathrm d\omega \\ & = \int_{-\infty}^\infty \left[ \omega^2U(x,\omega) + c^2 \nabla^2 U(x,\omega) + F(x,\omega) \vphantom{\sum}\right] e^{-i\omega t} \mathrm d\omega . \tag{1} \end{align} A partir de aquí, es fácil ver que si $f(x,t)$ está dada (por lo que $F(x,\omega)$ también está dada), podemos encontrar una solución de la ecuación original estableciendo $U(x,\omega)$ sea una solución de la ecuación de Helmholtz, $$ c^2 \nabla^2 U(x,\omega) + \omega^2U(x,\omega) = - F(x,\omega) $$ o con el cambio cosmético $k=\omega/c$ , $$ \nabla^2 U(x,\omega) + k^2U(x,\omega) = - \frac{1}{c^2} F(x,\omega). $$ (Además, es fácil demostrar que la transformada de Fourier en $(1)$ significa que es una condición necesaria, pero si todo lo que estás haciendo es encontrar soluciones, en lugar de caracterizar la solución general, entonces la suficiencia es suficiente).

---

Bien, esa es la parte formal. ¿Cómo se utiliza esto en el mundo real? Hay tres formas principales de utilizarlo.

1. Lo más claro es cuando la ecuación de onda está siendo forzada por una fuente que es en sí misma monocromática (o lo suficientemente cercana a la monocromática como para que a su situación no le importe la diferencia), o en términos de la amplitud de Fourier $F(x,\omega) = F(x) \delta(\omega-\omega_0)$ . Este es el caso, por ejemplo, cuando se considera la emisión electromagnética de una antena ajustada a una banda muy estrecha de frecuencias.

   Desde el punto de vista físico, la ecuación de Helmholtz $(\mathrm{H})$ hace codifican la propagación, en un sentido muy real ─ salvo que estás considerando de una sola vez la superposición coherente de la emisión que proviene de una fuente que siempre está encendida, y que oscila a una frecuencia constante durante todo el tiempo. En este caso, se espera que la respuesta física sea a esa misma frecuencia, pero la respuesta espacial puede ser complicada en presencia de reflexiones, medios dispersivos, o lo que sea; resolvemos la ecuación de Helmholtz para encontrar esa respuesta espacial.

   En este caso, $\omega$ es obviamente fijado por el controlador externo.

2. Una aplicación aparte es cuando resolvemos modos resonantes del dominio en cuestión; se trata de soluciones no nulas de la ecuación de Helmholtz que se mantienen incluso cuando el conductor $F$ es cero, y son importantes, por ejemplo, cuando $F$ es un impulso confinado en el tiempo, como golpear un tambor, y los efectos se dejan resonar en un dominio confinado del que la energía no puede salir fácilmente.

   En este caso, $\omega$ es fijada por el dominio a una de un conjunto discreto de frecuencias resonantes que sostienen soluciones no nulas de $(\mathrm{H})$ incluso cuando el conductor es cero, y el proceso de resolver la ecuación de Helmholtz incluye encontrar esas frecuencias resonantes. El objetivo final de este cálculo es un conjunto de frecuencias resonantes $\{\omega_n\}$ con el correspondiente conjunto de soluciones $\{u_n(x)\}$ que satisfacen la ecuación homogénea de Helmholtz a esa frecuencia y que forman una base completa, en el $L_2$ para funciones sobre el dominio en cuestión.

   Para conciliar esto con el conductor, el caso más sencillo es considerar un conductor impulsivo, es decir, algo de la forma $f(x,t) = f(x)\delta(t)$ con una transformada plana de Fourier. En este caso, todos los modos ven el impulso, pero sólo los modos resonantes son capaces de responder. En este caso, se descompone $f(x)$ como una combinación lineal de los $u_n(x)$ y esto te dice cuánto se excita cada modo, lo que determina la evolución temporal después de que desaparezca el impulso.

   ¿Describe esto la "propagación" en un sentido adecuado? Bueno, en última instancia estás resolviendo la propagación de una perturbación impulsiva inicial, como puntear una cuerda, encontrando una descomposición inteligente de esa perturbación inicial en términos de modos que evolucionan limpiamente (monocromáticamente) en el tiempo. Así que, sí.

3. Por último, también existe el caso en el que simplemente se tiene algún controlador arbitrario $f(x,t)$ para la ecuación de onda, y todo lo que se puede decir de su transformada de Fourier es que existe. En este caso, $\omega$ no se "elige" como tal, sino que se trata de un parámetro continuo del problema, en el que se resuelve un conjunto continuo de ecuaciones de Helmholtz no homogéneas separadas para obtener la variable $U(x,\omega)$ y luego se suman coherentemente para obtener $u(x,t) = \int_{-\infty}^\infty U(x,\omega) e^{-i\omega t} \mathrm d\omega$ .

   Sin embargo, no hay que subestimar la importancia de lo que se hace. puede decir sobre $F$ con sólo decir "la transformada temporal de Fourier de $f(x,t)$ existe", estás diciendo que $f(x,t)$ puede entenderse como una superposición de ondas monocromáticas, cada una de las cuales puede resolverse independientemente y que provocará alguna respuesta monocromática $U(x,\omega) e^{-i\omega t}$ que pueden sumarse para obtener la respuesta global del conductor.