Los grupos de Lie compactos conectados no tienen raíces cuadradas continuas

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo. Decimos que $f : G \to G$ es una raíz cuadrada de $G$ , si $f(x)^2=x$ para todos $x \in G.$

Demostrar que un grupo de Lie compacto y conectado $G$ no tiene raíz cuadrada continua.

¿Y si, en lugar de un grupo de Lie, consideramos un grupo compacto conectado con más de un elemento? ¿Sigue siendo cierta la afirmación?

Answer 1

Empujado por el comentario de ehsanmo, he retomado una idea que tuve hace tiempo y la he hecho funcionar.

Por hipótesis, $G$ es una variedad compacta conectada. Obsérvese también que es una variedad orientada: Elige cualquier orientación en el espacio tangente a la identidad y utiliza la multiplicación por la izquierda para trasladarla al resto del grupo. Sea $\delta$ sea el mapa de duplicación: $g \mapsto g^2$ . Para cualquier mapa continuo de variedades compactas conectadas de la misma dimensión, podemos definir el grado del mapa . El grado de una composición de dos mapas es el producto de sus grados. Así, si $\epsilon$ fuera una raíz cuadrada continua de $\delta$ Tendríamos $\delta \circ \epsilon = \mathrm{Id}$ y por lo tanto $\deg(\delta) \deg(\epsilon) = 1$ .

Voy a calcular que $\deg(\delta) = 2^r$ , donde $r$ es la dimensión de un toro maximal de $G$ . Por lo tanto, a menos que $G$ es trivial, $\deg(\delta)$ no divide $1$ y no existe una raíz cuadrada continua.

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Dejemos que $T$ sea un toro maximal de $G$ con $T \cong (S^1)^r$ y que $W$ sea el grupo de Weyl. Utilizaremos la descripción de grado como el número de preimágenes de un punto genérico, contado con signo. Sea $t$ sea un elemento de $T$ de tal manera que la única forma de escribir $t$ como $g u g^{-1}$ con $u \in T$ es tomar $g \in W$ . Un elemento genérico de $T$ tendrá esta propiedad. Afirmamos que $g$ tiene $2^r$ raíces cuadradas, y que $\delta$ es preservar la orientación cerca de cada uno de ellos.

Consideremos una hipotética raíz cuadrada de $t$ . Podemos escribirlo de la forma $h u h^{-1}$ para $u \in T$ Así que $(h u h^{-1})^2 = h u^2 h^{-1} = t$ . Por nuestra elección de $t$ Debemos tener $h \in W$ y, sustituyendo $(h,u)$ por $(\mathrm{Id}, h^{-1} u h)$ podemos suponer que $h = \mathrm{Id}$ . En otras palabras, hemos demostrado que toda raíz cuadrada de $t$ está en el toroide. Hay claramente $2^r$ raíces cuadradas de $t$ en $T$ .

Dentro del espacio tangente a $G$ en $\mathrm{Id}$ , elija un complemento para $T$ y traducirlo en torno a $T$ por la acción de la izquierda. Así que el haz tangente a $G$ , restringido a $T$ se divide como una suma directa del haz tangente a $T$ y un haz trivial complementario. Utilizando la fórmula $\delta(h u h^{-1}) = h u^2 h^{-1}$ vemos que $\delta$ actúa sobre el haz tangente a $T$ mediante la multiplicación por $2$ y actúa trivialmente sobre el complemento ortogonal elegido. Así que los valores propios del jacobiano de $\delta$ son todos $2$ y $1$ y vemos que $\delta$ es la conservación de la orientación. Hemos comprobado que el $\delta$ -preimagen de un punto genérico tiene $2^r$ elementos, cada uno contado con signo $+1$ , según se desee.

Answer 2

Creo que el siguiente argumento topológico también funcionará:

Dotaré $\delta: G \to G$ , $\delta(x) = x^2$ y la hipotética raíz cuadrada continua $\epsilon$ . Desde $\delta \circ \epsilon = \mathrm{id}$ tenemos que $\epsilon$ es inyectiva. Por invariancia de dominio esto implica que $\epsilon$ está abierto. Por la compacidad de $G$ se deduce que $\epsilon$ también es cerrado; por lo tanto, vemos que, debido a la conectividad de $G$ la raíz cuadrada $\epsilon$ debe ser un homeomorfismo con inversa $\delta$ .

Así que, en particular, $\delta$ debe ser inyectiva. Pero mirando a los tori en $G$ No es el caso.