Tabla de multiplicación de un grupo de Galois?

Question

Estoy mirando el polinomio $x^4 − 4x^2 + 16$. Sé que sus raíces son $1\pm\sqrt{3}$ , por lo que su extensión es $\mathbb Q(i, \sqrt{3})$.

Sin embargo, también estoy invitado a dar una tabla de multiplicación para el grupo de Galois. ¿Qué será eso? ¿Qué será de sus filas y columnas?)

(Estoy practicando para un examen)

Answer 1

En primer lugar, como @SpamIAm señalado, las raíces de $u^2-4u+16$ $2\pm2\sqrt{-3}=4\omega^{\pm1}$ donde $\omega$ es una primitiva sexto de la raíz de la unidad, $\omega=\frac12+\frac{\sqrt{-3}}2$. Por lo tanto las raíces de su polinomio original se $\pm2\zeta^{\pm1}$ donde $\zeta$ es una primitiva duodécima de la raíz de la unidad. Creo que se puede tomar desde aquí.