¿Cuál es el principal uso de los soportes de Lie en el álgebra de Lie de un grupo de Lie?

Question

Soy principiante en la teoría de grupos de Lie, y no encuentro la respuesta a una pregunta que me hago: sé que el álgebra de Lie $\mathfrak g$ de un grupo de Lie $G$ es más o menos el vector tangente de $G$ en la identidad, de modo que $\mathfrak g$ tienen una propiedad muy interesante: la linealidad.

Sin embargo, $\mathfrak g$ tiene otra propiedad: es estable bajo corchetes de Lie $[.,.]$ .

Para mí, cuando estudio los grupos de Lie, siempre me parece muy importante la linealidad de las álgebras de Lie, y no veo ni he encontrado por qué es importante la estabilidad bajo soportes de Lie. ¿Cuál es el principal resultado/propiedad de los grupos de Lie con esta propiedad?

¡Sería genial si pudieras iluminarme!

Answer 1

Lo pienso de esta manera.

En cierto sentido, la geometría es "difícil" y el álgebra es "fácil". Así que se quiere obtener toda la información posible estudiando las álgebras de Lie en lugar de los grupos de Lie, y luego trasladar los resultados de las álgebras a los grupos. Así que tu corchete es la operación más natural en el espacio tangente que te permite hacer eso. Puedes reinterpretar muchas propiedades de tu grupo de Lie (conmutatividad, solvencia, (semi)simplicidad, etc.) en propiedades del soporte del álgebra de Lie. Por ejemplo, la simplicidad de los grupos se codifica en la propiedad de que el álgebra de Lie no tiene ideales no triviales, etc. También tienes análogos entre subgrupos de distinto tipo de tu grupo de Lie $G$ y subálgebras de $g$ . Por ejemplo, el espacio tangente al centro del grupo de Lie $G$ es el centro del álgebra de Lie $g$ es decir $Z(g)=\{x\in g|[x,y]=0,\forall y\in g\}$ .

Espero haber ayudado un poco.

Answer 2

Como mensaje para llevar a casa, diría que el corchete de Lie codifica la estructura de la multiplicación de grupos . La estructura lineal por sí sola es muy poco informativa; en realidad sólo nos habla de la dimensión de la variedad.

Más concretamente, el Baker-Campbell-Hausdorff te dice que la multiplicación del grupo (al menos para los elementos cercanos a la identidad, y por tanto en la imagen del mapa exponencial $\exp$ ) puede obtenerse íntegramente a partir de los corchetes de Lie. Por lo tanto, como se señala en el post de Sasha Patotski, (casi) todas las propiedades de los grupos tienen analogías con los corchetes de Lie.

De hecho, el corchete de Lie es particularmente agradable, ya que proporciona expresiones muy concisas de las propiedades de los grupos de Lie. Pensar en la representación adyacente, la forma de Killing y demás es una buena manera de entrar.

Observación: Las advertencias anteriores reflejan los problemas como $\exp$ mapeando el álgebra de Lie de $O(3)$ volver a sólo $SO(3)$ y un problema más sutil en el que el álgebra de Lie de $SL_2(\mathbb R)$ se asigna a un subconjunto estricto de ese grupo (aunque el grupo esté conectado).

Answer 3

Una buena pregunta. Hay muchos aspectos de la situación... Al menos una estructura fundamental puede entenderse de la siguiente manera. En primer lugar, imaginando que $t$ es un "infinitesimal", por lo que $t^3=0$ (no $t^2=0$ !) (o equivalente...), e imaginando que los elementos del grupo de Lie cercanos a la identidad son $g=1+tx$ y $h=1+ty$ (con $x,y$ en el álgebra de Lie) observe que $(1+tx)(1+ty)(1-tx)(1-ty)=1+t^2(xy-yx)$ . Por lo tanto, nos preocupamos por $xy-yx=[x,y]$ .

Por ejemplo, para los grupos de Lie matriciales, de modo que $x,y$ son matrices, esto tiene sentido, donde $xy-yx$ está en el álgebra matricial.

Sí, hay varios temas que quedan pendientes después de este recorrido, pero el patrón de símbolos resulta ser excelente, básicamente en todas las encarnaciones.