Es el siguiente afirmación verdadera? Cómo? Estoy teniendo problemas para ver si no es verdadero o falso.
$$P(A\mid B) = P(A\mid B \cap C)P(C\mid B) + P(A\mid B \cap C')P(C'\mid B)$$
Respuestas
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Brian Tung
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Es cierto, en general:
\begin{align} P(A \mid B) & = \frac{P(A, B)}{P(B)} \\ & = \frac{P(A, B, C)+P(A, B, C')}{P(B)} \\ & = \frac{P(A, B, C)}{P(B)}+\frac{P(A, B, C')}{P(B)} \\ & = \frac{P(A, B, C)}{P(B, C)} \cdot \frac{P(B, C)}{P(B)} + \frac{P(A, B, C')}{P(B, C')} \cdot \frac{P(B, C')}{P(B)} \\ & = P(A \mid B, C) \cdot P(C \mid B) + P(A \mid B, C') \cdot P(C' \mid B) \end{align}
Tomar nota de los posibles errores en los denominadores.
El Barto
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338
$$P(A|B\cap C)P(C|B)=\frac{P(A\cap B\cap C)}{P(B\cap C)}\cdot{\frac{P(B\cap C)}{P(B)}}=\frac{P(A\cap B\cap C)}{P(B)} \\ P(A|B\cap C')P(C'|B)=\frac{P(A\cap B\cap C')}{P(B\cap C')}\cdot\frac{P(B\cap C')}{P(B)}=\frac{P(A\cap B\cap C')}{P(B)}$$Hence RHS is $$\frac{P(A\cap B\cap C)}{P(B)}+\frac{P(A\cap B\cap C')}{P(B)}=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=P(A|B)$$
grand_chat
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He aquí un práctico dispositivo: Escribir (1) $P_B(A)$ en lugar de $P(A\mid B)$ y (2) $P_B(A\mid C)$ en lugar de $P(A\mid B\cap C)$. Entonces la identidad en cuestión se vuelve más claro: $$ P_B(A) = P_B(A\a mediados C) P_B(C) + P_B(A\a mediados de C') P_B(C'), $$ lo cual es cierto porque $P_B$ es una probabilidad.
Usted puede pensar de movimientos (1) y (2) como mentalmente borrar el acondicionado en $B$. (Tenga en cuenta que mover (2) se justifica por (1) y la definición de la probabilidad condicional.) Una vez que te acuerdas de este dispositivo se convierte en mucho más fácil de probar, o se derivan expresiones similares de otras identidades que usted sabe que es verdad.
Oscar
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A ver, literalmente, este, me dibujó un diagrama. En primer lugar, observe que
$$P(A|BC)P(C|B) = \frac{P(ABC)}{P(BC)}\frac{P(BC)}{P(B)} = \frac{P(ABC)}{P(B)} = \frac{P(AC|B)P(B)}{P(B)} = P(AC|B).$$
Esto es decir la probabilidad de $A$$C$$B$. Del mismo modo $P(A|B C')P(C'|B) = P(AC'|B)$, que dice que la probabilidad de $A$$C'$$B$. Entonces estamos a sólo particionado $A|B$ en la parte que incluye la $C$ y la parte que excluye $C$.
$$P(A|B) = P(AC|B)+P(AC'|B).$$
