Demostrar: si $\:\lim_\limits{x\to a}\:f(x) = \lim_\limits{x\to a}\:g(x) = \infty$, $\lim_\limits{x\to a}\:(f(x) + g(x)) = \infty$

Question

Si $\:\lim_\limits{x\rightarrow a}f(x) = \infty$, luego$\:\forall$$m>0$$\:\exists d_1$ de tal forma que si$\:|x-a|< d_1$,$f(x) > \Large\frac{m}{2}$.

Si $\:\lim_\limits{x\rightarrow a}g(x) = \infty$, luego$\:\forall$$m>0$$\:\exists d_2$ de tal forma que si$\:|x-a|< d_2$,$g(x) > \Large\frac{m}{2}$.

Por lo tanto,$\:\forall m>0\:$deje$\:d = \min(d_1, d_2)$.

Entonces si $\:|x - a| < d$, $\:\lim_\limits{x\rightarrow\infty}\:[f(x) = g(x)] = f(x) + g(x) > \Large\frac{m}{2}\normalsize+\Large\frac{m}{2}\normalsize\geq m $

Hace esta mirada sobre la derecha?

Gracias.

Answer 1

Esto es casi correcta. Usted debe quitar la última declaración:

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$$\lim_{x \to a}[f(x) + g(x)] = f(x) + g(x) > M/2 + M/2 = M.$$

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y reemplazarlo con

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$$ f(x) + g(x) > M/2 + M/2 = M,$$

y, por lo tanto,$\lim_{x \to a}[f(x) + g(x)] = \infty$.

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La razón por la que la primera afirmación no es del todo correcta es porque

$$\lim_{x \to a}[f(x) + g(x)] \neq f(x) + g(x).$$