Diferentes formas para solucionar $\int_0^1 \sqrt{1+x^2} dx $

Question

Así que tengo la tarea a resolver esta integral en $4$ diferentes maneras, pero se han resuelto sólo con la sustitución de. ($x=tg(t)$, $dx=\sec^2(t)dt$) y así sucesivamente. Cualquier consejo sobre el otro $3$ formas ? Gracias :)

Answer 1

IBP? $u = \sqrt{1+x^2}$ $\mathrm{d}v = 1$ $v = x$ . Por lo tanto $$I = \int_0^1 \sqrt{1+x^2} \, \mathrm{d}x = \bigg[x\sqrt{1+x^2}\bigg]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}} \, \mathrm{d}x$$

A continuación,$\int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}} \, \mathrm{d}x = \int_0^1 \frac{1+x^2}{\sqrt{1+x^2}} \, \mathrm{d}x - \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \, \mathrm{d}x$. Así $$I = \sqrt{2} - I + \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \, \mathrm{d}x$$ or equivalently $$I = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\text{arsinh} \,1$$

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Alternativamente, si usted acepta otras sustituciones $\sqrt{x^2 + 1} + x = t$ debe trabajar; esto se conoce como Euler sustitución.

Answer 2

Es una forma de utilizar el de Euler sustituciones

Euler sustitución 1

Deje $\sqrt{1+x^2} = x + t$, $x = \cfrac{1 - t^2}{2t}$

Euler sustitución de 2

Deje $\sqrt{1+x^2} = xt + 1$. A continuación, $x = \cfrac{2t}{1-t^2}$

Funciones trigonométricas hiperbólicas

Definimos $$\sinh x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \qquad \text{and} \qquad \cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}.$$ Con las definiciones anteriores se puede demostrar con relativa facilidad que

$$1+\sinh^2x = \cosh^2x \qquad \text{and} \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sinh x = \cosh x.$$

Por lo tanto, podemos resolver nuestros integral con la hiperbólica de sustitución de $x \mapsto \sinh t$$\mathrm{d}x = \cosh t \,\mathrm{d}t$,

$$ \int \sqrt{1+x^2} \,\mathrm{d}x = \int \sqrt{1+\sinh^2t} \cosh t \,\mathrm{d}t = \int \cosh^2t \,\mathrm{d}x\,. $$

Donde la última integral se puede resolver en un número de maneras, tal vez la más sencilla es usar la definición de $\cosh t$ y se expanda. Otra manera es utilizar el familiar en busca de la identidad $\cosh^2t = (1+\cosh 2t)/2$$\int \cosh t\,\mathrm{d}t = \sinh t + C$.

Answer 3

Sustituto $x=\sinh(t/2)$, lo $\sqrt{1+x^2}=\cosh(t/2)$$dx=\frac{1}{2}\cosh(t/2)\,dt$, por lo que la integral se convierte en $$ \frac{1}{2}\int\cosh^2(t/2)\,dt=\frac{1}{4}\int(\cosh t-1)\,dt $$