¿Por qué no se aplica el límite inferior de Cramer-Rao?

Question

Deje que$X_1, X_2, \dots, X_n$ sea una muestra de variables aleatorias iid, con densidad$$f_\theta=\frac{2}{3\theta}\left(1-\frac{x}{3\theta}\right) $$ for $ 0 <x <3 \ theta $. Y$f_\theta=0$ si$ x < 0$ o$ x>3\theta$

Deje que$\hat{\theta}=\overline{X}$ sea una estimación de$\theta$

Mostré que$\hat\theta$ es un estimador imparcial para$\theta$ y es un estimador consistente.

Mi pregunta es:

¿Por qué el límite inferior de Cramer-Rao no se aplica a estimaciones imparciales de esta distribución?

Answer 1

¿Conoce las tres condiciones de regularidad que deben cumplirse para que se aplique el límite inferior de RC? Parece que viola la condición de que los límites de la función de distribución no deben depender de la cantidad estimada. $\theta$ determina los límites de la distribución. Consulte el artículo de Wikipedia, condición de regularidad 1: http://en.wikipedia.org/wiki/Cram%C3%A9r%E2%80%93Rao_bound

Answer 2

La Cramer-Rao límite Inferior (CRLB) sólo es válido para las densidades de que son lo suficientemente regulares. En particular, el apoyo de la densidad f(x; θ) no dependen del parámetro θ. Esto es debido a que
f(x, θ) debe ser tal que el orden de integración de f(x, θ) con respecto a x y la diferenciación de
f(x, θ) con respecto a la θ pueden ser intercambiados. Por ejemplo, el soporte de f(x, θ) depende del parámetro (0 < x < 3θ). Por lo tanto, el CRLB no se aplica.

La regularidad de las condiciones de venir de la prueba de la CRLB. Si no, la prueba no es válida.