Propiedad básica de un tensor.

Question

En Jost de la Geometría de Riemann y Geométricas Análisis (6ª ed.) en la página 142 es el siguiente observación con respecto a la torsión del tensor.

Observación. No es difícil comprobar que [el tensor de torsión] $T$ es de hecho un tensor, es decir, que el valor de $T(X,Y)(x)$ sólo depende de los valores de $X$ $Y$ en el punto de $x$.

Aquí, $X,Y\in\mathfrak{X}(M)$.

Desde un mapa de $T:\mathfrak{X}(M)\times\mathfrak{X}(M)\to C^\infty(M)$ es inducida por un tensor de iff es $C^\infty(M)$-lineal y la torsión $T$ es, de hecho, $C^\infty(M)$- lineal, sé que la torsión $T$ es un tensor. Sin embargo, yo no soy consciente de que la propiedad de un tensor como se indicó anteriormente pero suponiendo que la propiedad tiene algo que ver con la diferencia entre el tensor y el tensor de campo. Una es necesaria una aclaración: ¿de Dónde viene la anterior propiedad de un tensor?

Answer 1

Antes de responder a tu pregunta, vamos a aclarar algo más.

Una $(r,s)$-tensor de a $p \in M$ es un elemento de $\mathcal{T}^r_s(T_pM)$. Por lo tanto, un tensor es un objeto definido en un solo punto; es un elemento del espacio total de un vector paquete.

Una $(r,s)$-tensor de campo es una sección del vector paquete de $\mathcal{T}^r_s(TM)$. Por lo tanto, un campo tensorial es una función que las entradas de los puntos de un colector y salidas de los tensores se adjunta a los puntos; se trata de una sección de un vector paquete.

En geometría diferencial, que rara vez la atención sobre los tensores se define en un único punto, como mucho como el tensor de campos. Por esta razón, muchos autores (incluyendo Jost) usar las palabras de manera intercambiable. En este caso, sería más exacto decir que la torsión "tensor" es un tensor de campo.

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Deje $\pi \colon E \to M$ ser un suave vector paquete.

Deje $F \colon \Gamma(E) \to C^\infty(M)$ $\mathbb{R}$- lineal mapa.

• Decimos que $F$ actúa localmente iff para cualquiera de las dos secciones $\sigma_1, \sigma_2 \in \Gamma(E)$ que está de acuerdo en un conjunto abierto $U \subset M$ ( $\sigma_1|_U = \sigma_2|_U$ ), tenemos $F(\sigma_1)|_U = F(\sigma_2)|_U$.

• Decimos que $F$ actos pointwise iff para cualquiera de las dos secciones $\sigma_1, \sigma_2 \in \Gamma(E)$ que está de acuerdo en un punto de $p \in M$ ( $\sigma_1(p) = \sigma_2(p)$ ), tenemos $F(\sigma_1)(p) = F(\sigma_2)(p)$.

Hecho: Un $\mathbb{R}$-lineal mapa de $F\colon \Gamma(E) \to C^\infty(M)$ actos pointwise iff $F$ $C^\infty(M)$- lineal.

Prueba de dibujo: $(\Longrightarrow)$ Supongamos $F \colon \Gamma(E) \to C^\infty(M)$ actos pointwise. Fix$p \in M$$f \in C^\infty(M)$. Tenga en cuenta que las secciones $\sigma_1 := f\sigma$ $\sigma_2 := f(p)\sigma$ ha $\sigma_1(p) = f(p)\sigma(p) = \sigma_2(p)$, por lo que $$F(f\sigma)(p) = F(f(p)\sigma)(p) = f(p)(F\sigma)(p).$$ Es decir, $F(f\sigma) = f(F\sigma)$.

$(\Longleftarrow)$ Supongamos $F$ $C^\infty(M)$- lineal. Deje $U \subset M$ ser abierto, $p \in U$. Supongamos $\sigma|_U = 0$. Deje $\varphi \in C^\infty(M)$ ser un golpe con la función de $\text{supp}(\varphi) \subset U$$\varphi(p) = 1$. Tenga en cuenta que $\varphi \sigma = 0$ ( $M$ ). Por $C^\infty(M)$-linealidad, tenemos $\varphi F(\sigma) = F(\varphi \sigma) = 0$. Por lo tanto, $F(\sigma)(p) = \varphi(p)F(\sigma)(p) = 0$, lo $F(\sigma)|_U = 0$. Esto demuestra que $F$ actúa localmente. Mediante el uso de otro bache argumento de la función, se puede demostrar que (omito los detalles) que $F$ actos pointwise.

Referencia: "Introducción a la Suave Colectores" de John Lee