Estoy buscando una referencia que contiene la siguiente prueba de Euclides de la Lema.
Recordar la declaración: Vamos a $a,b$ ser enteros positivos y deje $p$ ser un primer dividiendo $ab$. A continuación, $p$ divide $a$ o $b$.
[Soy la reescritura de la prueba teniendo en cuenta Geoff Robinson comentarios:]
Deje $Q$ el conjunto de los cuádruples $(p,c,a,b)$ de enteros positivos tales que
$p$ es primo,
$ab=pc$,
$p$ divide ni $a$ ni $b$.
Supongamos por contradicción que $Q$ es no vacío y deje $(p,c,a,b)$ ser por lo menos su elemento con respecto a la ordenación lexicográfica. Claramente tenemos $c > 1$. También tenemos $c < p$ porque de lo contrario $(p,c-a,a,b-p)$$Q$.
[Editar (Ago. 4): Asumiendo $c\ge p$, $b > p$ (y por lo tanto $c > a$), por el contrario implicaría $a\le b < p$, y por lo tanto $ab < p^2\le pc=ab$. (Gracias a Bill Dubuque!)]
Si $q$ es un primer factor de $c$, $(p,c/q,a/q,b)$ o $(p,c/q,a,b/q)$$Q$, una contradicción.
EDITAR (24 de julio). Gracias a Martin Sleziak por sus comentarios. Voy a mirar tranquilamente en sus enlaces, y hacer tal vez una nueva edición. Mientras tanto aquí está el argumento utilizado por Gauss en su "Disquisitiones Arithmeticae, Arte, 13. [Yo debería haber estudiado este Artículo más serio antes de la publicación de mi pregunta. Mis disculpas.]
Deje $p$ ser una de las primeras y $a$ un número entero no divisible por $p$. Supongamos por contradicción que el conjunto de $B$ de todos los enteros positivos $x$ tal que $p$ divide $ax$, pero no divide $x$, es no vacío, y deje $b$ es el mínimo de $B$. Las desigualdades $1 < b < p$ son claras. No es un entero positivo $m$ tal que $mb < p < (m+1)b$, y uno fácilmente se comprueba que $p-mb$ es de menos de $b$ y pertenece a $B$, una contradicción. QED
En realidad me gusta de Gauss argumento mucho mejor que el que te di anteriormente. Pero aquí es lo que me desconcierta. Muchas escuelas Primarias de la Teoría de números y Álgebra los libros de texto de demostrar el Teorema Fundamental de la Aritmética (o Euclides del Lexema) utilizando sólo Peano como axiomas, y en particular, a no utilizar la construcción de $\mathbb Z$$\mathbb N$. Me parece que es una muy buena idea hacerlo. [Estoy de acuerdo en que la construcción de la $\mathbb Z$ es de suma importancia, pero creo que es también importante darse cuenta de que el Teorema Fundamental no depende de él.] El problema es que estas pruebas, me siento, tienden a ser mucho más complicado que el anterior argumento de Gauss. [Gracias por corregir si me equivoco.]
