Probar o refutar la siguiente desigualdad.

Question

Si$X$ es una variable aleatoria no constante con$X \geq 0$ entonces$$[E(X^{\alpha+1})]^{\alpha}-[E(X^{\alpha})]^{\alpha+1} > 0$ $ para$\alpha=1,2,3,4,...$

Es fácil para$\alpha=1$, porque es igual a la varianza. Pero para otros valores de$\alpha$, estoy confundido. Además, no pude encontrar ningún ejemplo de contador para$\alpha=2,3$ etc. Pero cómo probar si esto es correcto.

Por favor, ayúdame. Gracias.

Answer 1

Adaptado de otra respuesta similar .

Deje$L^p=(\Omega, {\cal A}, \mu)$ y$p<q$. $$\int_\Omega X^p d\mu = \int_\Omega (X^q)^{p/q} d\mu \le \int_\Omega X^q d\mu$ $ por la desigualdad de Jensen y la concavidad de la función$y\mapsto y^\alpha$ para$\alpha=p/q<1$. Si aumenta ambos lados a la potencia$1/p$, obtendrá$$\left(\int_\Omega {X^p dx}\right)^{1/p} < \left(\int_\Omega{X^q dx}\right)^{1/q}.$ $. Tenga en cuenta que la igualdad se mantiene si y solo si$X$ es una constante o la función cóncava de la igualdad es lineal. Como ambos son falsos, es una desigualdad estricta.

En particular, cuando$p=\alpha$ y$q=\alpha+1$, tenemos$[E(X^{\alpha+1})]^{\alpha}-[E(X^{\alpha})]^{\alpha+1} > 0$.