Si$f:[0,\infty) \to \mathbb{R}$ sea una función diferenciable con$f(0)=1$. . . Muestra que$f'(x)\geq e^x$ para todos$x>0$.

Question

Si$f:[0,\infty) \to \mathbb{R}$ es una función diferenciable con$f(0)=1$ y$f'(x)\geq f(x)$ para todos$x>0$. Muestra que$f'(x)\geq e^x$ para todos$x>0$.

Sugerencia: considere$g(x)=e^{-x}f(x)$.

Mi principal preocupación es qué tiene que ver$g(x)$ con cualquier cosa. Siento que si entendiera su relevancia, entonces podría resolver el problema. Simplemente no estoy seguro de cómo puedo declarar que es relevante para el problema en cuestión.

Edit: charlestoncrabb tiene razón en la prueba, simplemente no estoy seguro de la relevancia de$g(x)$

Answer 1

Aquí hay una respuesta de por qué debe ser eso $f(x)\geq e^x$:

Este es, en cierto sentido, un "reverse Grönwall la desigualdad". Calcular $g'(x)$, como se ha sugerido, utilizando la regla del producto: $$g'(x)=e^{-x}(f'(x)-f(x))\geq 0.$$ Desde $f(0)=1$,$g(0)=1$, lo $g$ no es una función decreciente con $g(0)=1$, lo que implica que $g(x)\geq1$, por lo que el $e^{-x}f(x)\geq1\Longrightarrow f(x)\geq e^x$. Por lo tanto $f'(x)\geq e^x$.

(Edit: Recuerda que hemos asumido $f'(x)\geq f(x)$ a empezar, por lo $f(x)\geq e^x\Longrightarrow f'(x)\geq e^x$)

(2ª Edición: observe También la $f(0)=1$ suposición es esencial, como tirar hacia fuera de los rendimientos de la contraejemplo $f\equiv0$)

(3ª Edición: La relevancia de $g$ es que nos han mostrado $g(x)\geq 1$ todos los $x$, que es equivalente a la deseada desigualdad)