Probar para todos los$x, y \in \Bbb N$,$x \mid y (y + 1) \cdots (y + (x - 1))$

Question

Necesito su ayuda con la siguiente prueba:

Demostrar que para todos los $x, y \in \Bbb N$

$$x\mid y (y + 1) \cdots (y + (x - 1)).$$

Lo que tengo hasta ahora:

Prueba con la inducción de más de $x$.

Deje $y$ ser arbitrario pero fijo.

IB: $x = 1$,$1 \mid y$.

IH: vamos a $x$ ser arbitrario pero fijo con $x \mid y (y + 1)\cdots (y + (x - 1))$.

Ahora tenemos que demostrar $(x + 1)\mid y (y + 1) \cdots (y + (x - 1)) (y + x)$.

A partir de la IH sabemos que $x\mid y (y + 1)\cdots (y + (x - 1))$, y podemos concluir que $x \mid y (y + 1) \cdots (y + (x - 1)) (y + x)$.

Tan lejos que he llegado, pero ¿cómo puedo seguir y demostrar la divisibilidad por $x + 1$?

Cualquier ayuda o sugerencia sería muy apreciada.

Todo lo mejor!

Answer 1

Enfoque 1:

• $x>y$:

Supongamos en primer lugar $x>y$,$x=y+k, k\in \mathbb{N}$. Y, por supuesto, $k\leq x-1.$

• $x<y$:

Supongamos $x<y$$x=y-k, k\in \mathbb{N}.$, Pero tiene exactamente $x$ número consecutivo $y, y+1,..., y+x-1.$ Por simple lógica, tenemos que uno de ellos tiene que ser $a\cdot x$ algunos $a\in \mathbb{N}.$

• $x=y$:

Supongamos $x=y$, entonces es trivial.

Enfoque 2:

Me parece que el segundo enfoque muy agradable.

Tenga en cuenta que puede volver a escribir: $$y(y+1)\cdot \dots\ \cdot (y+x-1)=\frac{(y+x-1)!}{(y-1)!}.$$

Y la pregunta es divisible por $x$?

Se puede decir mucho más acerca de ella: es divisible por $x!$. Porque: $$\frac{(y+x-1)!}{(y-1)!x!}=\binom{y+x-1}{x}.$$ And hence it is of course divisible by $x$.

Answer 2

Hacer la inducción en$y$. El caso$y=1$ es obvio, ya que $$ 1 (1 +1) \ dotsm (1 + x-1) = x! $$ es obviamente divisible por$x$.

Supongamos que el caso$y$; luego $$ \ overbrace {(y +1) \ dotsm (y + x-1)} ^ {\ text {factor común}} \, (y + x) - \ underbrace {y \, \ overbrace {(y +1) \ dotsm (y + x-1)} ^ {\ text {factor común}}} _ {\ text {divisible por$x$}} = (y +1) \ dotsm (y + x-1 ) (y + xy) $$