Encontrando puntos especiales dentro del rectángulo.

Question

Puedo resolverlo analíticamente, pero necesito alguna solución de geometría elemental parecida a una escuela para esto.

Sea w = ancho y h = altura del rectángulo ABCD. Para cualquier punto E dentro del rectángulo, excepto su límite, deje$f(E)=|AE| \cdot |EC| + |BE| \cdot |ED|$, la pregunta es: cómo encontrar el punto E dentro de este rectángulo, excepto los puntos en los lados de este rectángulo , de manera que f (E) sea el mínimo. Y encuentra este mínimo.

Answer 1

La respuesta es min $f(E)=w \cdot h.$

Solución:

$E$ cualquier punto dentro de $ABCD$

1. $2(S_{AEB}+S_{DEC})=|AB|\cdot |EH| +|DC|\cdot |EI|=|AB|\cdot|AD|=S_{ABCD}.$

2. $S_{ABCD}=2(S_{AEF}+S_{FEB}).$

3. Para cualquier triángulo tenemos $S_\Delta=\frac{1}{2}a\cdot b \cdot \text{sin} \alpha \leq \frac{1}{2}a b \Rightarrow 2 S_\Delta \leq a b$. Porque de $|\text{sin} \alpha| \leq 1 $.

$$ S_{ABCD}=2(S_{AEF}+S_{FEB}) \leq (|AE| \cdot |AF| + | | \cdot |BF|) $$

$$ S_{ABCD} \leq (|AE| \cdot |CE| + | | \cdot |ED|). $$

Y, finalmente,

$$ \text{min} (|AE| \cdot |CE| + | | \cdot |ED|) = S_{ABCD} = w \cdot h. $$

Un ejemplo de este punto E: dos círculos con un radio de $|\frac{AB}{2}|$.

Para este punto E : $|AE| \cdot |EC| + | BE| \cdot |ED|=w \cdot h$