Supongamos que tiene tres (distinta) de los puntos en los que la unidad de la esfera en el espacio Euclidiano
$$p_1, p_2, p_3 \in S^n = \{ x \in \mathbb R^{n+1} : |x| = 1 \}$$
Me gustaría encontrar, como de forma eficiente y sólida como sea posible, una descripción de la única ronda círculo en $S^n$ que contiene los tres puntos. Por un círculo, me refiero a la intersección de un afín $2$-dimensiones subespacio de $\mathbb R^{n+1}$$S^n$.
Estoy principalmente interesado en la $n=3$ de los casos, aunque el $n>3$ de los casos son de interés para mí.
La parte superior de mi cabeza la forma más práctica para lograr esto sería:
1) Encontrar el más pequeño de norma convexo-combinación de la $p_i$'s, es decir, resolver
$$\min \|\sum_i \alpha_i p_i\|, \hskip 1cm \sum_i \alpha_i = 1$$
que es un problema de cálculo.
2) Reemplazar el $p_i$'s $p_i - q$ donde $q$ está por encima de la norma-minimizer.
3) Calcular el complemento ortogonal de $span(p_1, p_2, p_3)$.
Si $q_1, q_2, \cdots, q_{n-2}$ es una base para el complemento ortogonal, entonces, que daría a un sistema de ecuaciones que describen el círculo.
$$q_i \cdot (x-p_j) = 0$$
para todos los $i,j$ (estas ecuaciones técnicamente independiente de j).
La cosa buena acerca de esta configuración es simplemente álgebra lineal. Un problema con esta solución es el paso (2) -- si bien la norma-minimizer resultados en una muy pequeña, pero no cero norma no podría ser inestabilidades numéricas. En la aplicación que tengo en mente, habrá que (potencialmente) miles de millones de tales cálculos y estos tipos de inestabilidades será difícil de evitar.
El $n=2$ de los casos tiene un lugar lindo, estable y eficiente solución que (fuera de la parte superior de mi cabeza) no veo la manera de generalizar
$$Det \pmatrix{ x & y & z & 1 \cr \cdot & \cdot & \cdot & 1 \cr \cdot & \cdot & \cdot & 1 \cr \cdot & \cdot & \cdot & 1} = 0$$
conecta los tres puntos $p_1, p_2, p_3$ en las filas de puntos.
Si hay una solución más general de este tipo, que sería maravilloso como se resuelve el problema de estabilidad. En la parte superior de eso, es una simple forma cerrada de la solución y mi aplicación podría utilizar una solución que es fácilmente distinguible. No tengo necesidad de eso, pero sería útil.
edit: necesito una respuesta que da el "universal bundle" descripción de el círculo, es decir, una ecuación del plano que el círculo de la vida. Se podría pensar en esto como un punto en el Grassmannian $G_{n+1,2}$ junto con un vector ortogonal en la dotación de las 2 dimensiones del subespacio. Esto es porque tengo listo el acceso a la Hausdorff función de distancia (distancia mínima) a partir de los puntos en la esfera del círculo. es decir, una parametrización del círculo no es suficiente.
edit 2: en mi comentario de abajo me refiero a la matriz de formulación de la Grassmannian. En esta formulación, el espacio de 2 dimensiones de los subespacios de $\mathbb R^n$ es el espacio de la $n\times n$ matrices $A$: $A^t = A, A^2=A, \text{ and } tr(A) = 2$. Desde esta perspectiva, la matriz $A$ representa la proyección ortogonal mapa en su imagen, que es un $2$-dimensiones del subespacio.
