¿Axioma de unión?

Question

Estoy leyendo Integral de las Matemáticas para los Científicos de la computación 1. En el segundo capítulo: la Teoría de conjuntos Axiomática.

Se establece en primer lugar el axioma del conjunto vacío, el axioma de la igualdad y, a continuación, se procede a el axioma de la unión:

Axioma 3 (Axioma de la Unión) Si $a$ es un conjunto, entonces hay un conjunto:

$\{$$x$ | existe un elemento $b\in a$ tal que $x\in b$$\}$.

Este conjunto se denota por a$\bigcup a$, y se llama unión de a $a$.

La notación de 2 Si a = {b,c}. o a = {b,c,d}, respectivamente, también se escribe b $\cup$ c, o b $\cup$ c $\cup$ d, respectivamente, en lugar de $\cup$un

He aprendido la definición de Unión, mientras que yo estaba en la escuela, pero no con los axiomas, que sólo dio una intuitiva ejemplo:

$a=\{1,2,3\}$

$b=\{4,5\}$

$a\bigcup b=\{1,2,3,4,5\}$

Yo no puedo ver cómo la noción de esta intuitiva ejemplo sucede en el axioma de la unión. En mi ejemplo, es fácil entender porque hay una mención a otro conjunto, donde la mención en este axioma?

Answer 1

La conexión entre su ejemplo y la definición más general es que$\bigcup\{a,b\}=a\cup b$. Escrito en todos sus detalles sangrientos, esto es

PS

Vamos a comprobar que contra la definición:

$$ \begin{align*} &\bigcup\Big\{\{1,2,3\},\{4,5\}\Big\}\\ &\qquad=\left\{x:\text{there exists an element }y\in\Big\{\{1,2,3\},\{4,5\}\Big\}\text{ such that }x\in y\right\}\\ &\qquad=\Big\{x:x\in\{1,2,3\}\text{ or }x\in\{4,5\}\Big\}\\ &\qquad=\{1,2,3\}\cup\{4,5\}\\ &\qquad=\{1,2,3,4,5\}\;. \end {align *} $$

Tomemos un ejemplo un poco más grande. Deje que$$\bigcup\Big\{\{1,2,3\},\{4,5\}\Big\}=\{1,2,3\}\cup\{4,5\}=\{1,2,3,4,5\}\;.$, y$a,b$ sean cualquier conjunto; entonces

$$ \begin{align*} \bigcup\{a,b,c\}&=\Big\{x:\text{there exists an element }y\in\{a,b,c\}\text{ such that }x\in y\Big\}\\ &=\{x:x\in a\text{ or }x\in b\text{ or }x\in c\}\\ &=a\cup b\cup c\;. \end {align *} $$

Una más, incluso más grande: para$c$ deja que$n\in\Bbb N$ sea un conjunto, y deja que$A_n$. Entonces

$$ \begin{align*} \bigcup\mathscr{A}&=\Big\{x:\text{there exists an }n\in\Bbb N\text{ such that }x\in A_n\Big\}\\ &=\{x:x\in A_0\text{ or }x\in A_1\text{ or }x\in A_2\text{ or }\dots\}\\ &=A_0\cup A_1\cup A_2\cup\dots\\ &=\bigcup_{n\in\Bbb N}A_n\;. \end {align *} $$

Answer 2

Deje$A=\{a,b\}$ (el conjunto cuyos únicos elementos son$a$ y$b$). Luego, la unión de$a$ y$b$ que describiste es lo que produce el Axioma de Unión de$A$.

Observación: Informalmente, deje que$A$ sea un conjunto cuyos elementos son un montón de bolsas de plástico con cosas en ellas (por lo tanto,$A$ es un conjunto de conjuntos). Luego, el conjunto producido por el Axioma de Unión de$A$ vuelca las cosas contenidas en las bolsas en una sola bolsa. (Los duplicados se tiran.)

Answer 3

Cuando escribimos$a\cup b$ en realidad nos referimos a$\bigcup\{a,b\}$. Esta es una abreviatura en lugar de escribir fórmulas largas cada vez que queremos hablar sobre la unión de dos conjuntos.

Answer 4

Piense en$a$ como un conjunto (o colección, si lo desea) de otros conjuntos. Entonces$\bigcup a$ es la unión de todos estos conjuntos. Así, por ejemplo, en tu ejemplo:

PS

Puedes pensar en$$\bigcup \lbrace\lbrace 1,2,3\rbrace,\lbrace 4,5\rbrace\rbrace = \lbrace 1,2,3,4,5\rbrace$ como una abreviatura para$A\cup B$.

Answer 5

Este axioma habla de un conjunto de conjuntos .

Esto se debe a que el axioma indica que$b\in a$ y$x\in b$:$x$ en$b$ le dice que$b$ es un conjunto (y es un elemento de$a$).

Por ejemplo:$a=\{\{1\},\{2,3\}\}$ entonces el axioma indica que existe$\{1\}\cup\{2,3\}=\{1,2,3\}$.