¿Los operadores de escalera dan a todos los estados propios?

Question

El canónica de la escalera de los operadores, por ejemplo, el impulso angular orbital son algo así como

$$ \hat L_+ = \hat L_x + i \hat L_y $$

y se puede demostrar que, si $ \left| \phi \right> $ es un eigenstate de $ \hat L_z $ con autovalor $m \hbar$ , a continuación, $ \hat L_+ \left| \phi \right> $ también será un eigenstate con un nuevo autovalor $ (1 + m)\hbar $ .

Mi pregunta es ¿cómo podemos estar seguros de que este es el 'siguiente' eigenstate, y no hemos perdido uno con un autovalor $ \lambda $ donde $m < \lambda < 1+m $ ? ¿Cómo sabemos que el momento angular se cuantifica en unidades de $ \hbar $ ?

En mi limitada experiencia, la escalera, los operadores se utilizan para demostrar la cuantización del momento angular. Estoy seguro de que esto es una simplificación excesiva, y que estos operadores han sido construidas y definidas para este propósito específico, pero hay una manera obvia para ver que generan cada eigenstate sólo de la forma de los operadores?

Answer 1

No hay manera de ver que el rendimiento de todos los estados, porque no es cierto. Si no te dan todos los estados depende del sistema. Por ejemplo, si usted fuera a comenzar con la $1s$ estado de un átomo de hidrógeno y la aplicación de estos operadores, no llegaría a nada; no te daría la $2s$, $2p$, etc. los estados.

El conjunto de estados se puede obtener, a partir de uno y la aplicación de estos operadores, sin embargo, se quiere, se llama "irreductible de la representación", o irrep para el corto. Todos finito-dimensional irreps ha $m$ ya sea entero o un número entero más $1/2$, porque de lo contrario la escalera operadores de seguir dando nuevos estados para siempre. Los sistemas pueden ser descritos por una irrep, o varios, o una infinidad de.

Hay un montón de circunstancias en las que tiene sentido restringir a una irrep. Por ejemplo, para los núcleos de los diferentes irreps están a menudo lejos de energía, por lo que sólo puede restringir el más bajo. También, para una partícula en el espacio 3D, hay infinitamente muchos irreps (para diferentes valores de $L^2$), pero se puede demostrar que una vez que se cuenta con todos aquellos que lo tienen todo, como el de la base resultante es completa.