Prouhet-Thue-Morse secuencia y progresiones aritméticas

Question

Esta pregunta es un fragmento de una pregunta publicado por @Mathphile para que el enlace se proporciona a continuación.

Deje $(x_i)$ ser una progresión aritmética de longitud $M$. Deje $(t_i)$ ser $i$th elemento en el Prouhet-Thue-Morse secuencia de donde tenemos: $$t_0=0$$ $$t_{2n}=t_n \quad (n \in \mathbb{N}_0)$$ $$t_{2n+1}=1-t_n \quad (n \in \mathbb{N}_0)$$ Si todos los elementos de a$(t_{x_i})$ se $0$'s, puede que el valor de $M$ ser arbitrariamente grande?

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Answer 1

Sí. Para $r=0,1$ deje $T_r=\{n\in\Bbb N_0: t_n=r\}$. La famosa de van der Waerden del teorema establece que para cualquier partición del conjunto de los números naturales en un número finito de partes existe una parte que contiene un largo arbitrario progresión aritmética. Así, para cada número natural $M$ existe una progresión aritmética $P$ de la longitud de la $M$ contenida en $T_0$ o $T_1$. Por otra parte, si $P\subset T_1$ , a continuación, un conjunto $P'=\{2p+1:p\in P\}$ es una progresión aritmética de longitud $M$ contenida en $T_0$.

Del mismo modo podemos demostrar que no es uniforme enlazado $M$ para la declaración de la Visión general en su respuesta. Es decir, para $0\le r<b-1$ deje $T_r=\{n\in\Bbb N_0: t_n=r\}$. Por van der Waerden del teorema, para cada número $M$ existe $0\le r<b-1$ y una progresión aritmética $P$ de la longitud de la $M$ contenida en $T_r$. Elegir un número arbitrario $0\le d<b$ coprime a $b-1$ y definir un mapa de $f:\Bbb N_0\to \Bbb N_0$ poniendo $f(n)=bn+d$ por cada $n\in\Bbb N_0$. A continuación, un conjunto $f(P)$ es una progresión aritmética de longitud $M$ contenida en $T_{r'}$, donde $r'\equiv r+C_d\pmod {b-1}$. Desde $C_d=d^d$ es coprime a $b-1$ también, existe un número natural $l$ tal que $r+C_dl\equiv 0\pmod {b-1}$. La iteración $T$, obtenemos que $T^r(P)$ es una progresión aritmética de longitud $M$ contenida en $T_0$.