¿Cuándo podemos "reducir"$(n\Bbb Z/m\Bbb Z)$?

Question

$(3\Bbb Z/6\Bbb Z) \cong (\Bbb Z/2\Bbb Z)$ puede mostrarse fácilmente usando el primer teorema de isomorfismo, pero escuché que no podemos decir que $(2\Bbb Z/6\Bbb Z) \cong (\Bbb Z/3\Bbb Z)$ .

Por qué no? ¿Y cuáles son las condiciones en las que podemos "simplificar" el anillo?

Answer 1

La confusión puede confiar en que su definición de $\cong$.

Si $\cong$ medios grupo de isomorfismo, a continuación, la fórmula $(2\mathbb Z/6\mathbb Z) \cong (\mathbb Z/3\mathbb Z)$ es cierto.

Si el uso de $\cong$ aquí significa canónicamente isomorfo a continuación, la fórmula es falsa.

Recordemos que para una clase dada de estructuras algebraicas (dicen los anillos, grupos, campos, ...) dos objetos de la clase se dice que los canónicamente isomorfos si existe un único isomorfismo entre ellos.

En tus ejemplos $3\mathbb Z/6\mathbb Z$ es un grupo de dos elementos y admite un único isomorfismo con $\mathbb Z/2\mathbb Z$, por lo que son canónicamente isomorfo. De hecho, en un isomorfismo $$ 3\mathbb Z/6\mathbb Z\rightarrow \mathbb Z/2\mathbb Z $$ la clase de $0$ debe ser asignado a la clase de $0$. Esto no deja libertad de elección de la imagen de la $[3]$.

Sin embargo, en el caso de $2\mathbb Z/6\mathbb Z\rightarrow \mathbb Z/3\mathbb Z$no se $2$ isomorphisms (de grupos) totalmente determinada por la imagen de $2$. En este caso, cualquier chocie $[2]\mapsto [1]$ o $[2]\mapsto [2]$ define un isomorfismo.

Comentarios adicionales Deje $m,k$ ser enteros positivos. A continuación, $k \mathbb Z/mk\mathbb Z$ es un grupo cíclico de orden $m$. Por lo tanto, es isomorfo a $\mathbb Z/m\mathbb Z$ como grupos. El número de posibles isomorphisms $k \mathbb Z/mk\mathbb Z\rightarrow \mathbb Z/m\mathbb Z$ coincide con el número de $\varphi(m)$ de los generadores de $\mathbb Z/m\mathbb Z$. Aquí $\varphi(m)$ denota el de Euler totient función que es $\geq 2$ si $m \geq 3$.

Por lo tanto $k \mathbb Z/mk\mathbb Z\cong \mathbb Z/m\mathbb Z$ siempre es cierto como grupo isomorfismo. Sin embargo $k \mathbb Z/mk\mathbb Z$, $\mathbb Z/m\mathbb Z$ son sólo canónicamente isomorfo al $m=1$ o $2$.

EDITAR:

Observe que el canónicamente parte depende mucho de la clase de estructuras de considerar, ya que los comentarios sugieren. El anillo de $2\mathbb Z/6\mathbb Z$ es unital (la unidad es $4$) y $2\mathbb Z/6\mathbb Z$ es canónicamente isomorfo a $\mathbb Z/3\mathbb Z$ como unital anillos.