Relación de equivalencia por la diferencia simétrica de conjuntos

Question

Sea $A, B$ subconjuntos de $X$ y $\mathbb P(X)$ el conjunto potencia, definimos la siguiente relación de equivalencia en $\mathbb P(X)$:

Sea $S\subseteq X$ un subconjunto fijo de $X$ y $A$~$B$ $\iff AB \subseteq S$

Demuestra que es una relación de equivalencia y encuentra la clase de equivalencia de $X$ y $S$

Mi trabajo:

Ya he demostrado que la relación satisface reflexividad y simetría, todo esto se justifica respectivamente por el hecho de que el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto y la diferencia simétrica es conmutativa.

Mi problema está con la transitividad, no sé cómo hacerlo, ya que al intentar usarlo para la definición de diferencia simétrica caigo en muchos casos. ¿Hay alguna manera de probar la transitividad usando solo operaciones entre conjuntos? Y con respecto a la clase de equivalencia de $S$, mostré que son todos subconjuntos de $X$ contenidos en $S$. Pero con respecto a la clase de equivalencia de $X$ no veo cuál es.

Cualquier ayuda sería útil. ¡Gracias!

Answer 1

Necesitamos demostrar que $A\sim B$ y $B \sim C$ implica $A \sim C$. Esto se puede ver fácilmente visualizando $A, B, C$ en un diagrama de Venn (¡inténtalo tu mismo!) Para formalizar la prueba con el diagrama de Venn, considera cualquier elemento $x$ en $A$ pero no en $C$. Si $x$ está en $B$, está en la diferencia simétrica de $B$ y $C$ y por lo tanto está en $S$. Si $x$ no está en $B$, está en la diferencia simétrica de $A$ y $B$ y por lo tanto está en $S$. Por simetría, cualquier elemento en $C$ pero no en $A$ está en $S$, completando la prueba.

Answer 2

Pista:

Por definición, $A\sim B$ significa $A-B$ y $B-A\subset S$. Por lo tanto, debes demostrar que, si $A-B, B-A, B-C, C-B\subset S$, entonces tanto $A-C$ como $C-A$ son subconjuntos de $S$.

Primero considera un elemento $x\in A-C$. O bien está en $B$, o no está en $B$. ¿Qué puedes deducir de las hipótesis en cada caso?

Answer 3

Si $A \Delta B \subseteq S$ y $B \Delta C \subseteq S$, entonces

$A \Delta C= (A \Delta B) \Delta (B \Delta C) \subseteq S$ también.

Answer 4

Dos pistas sobre formas de proceder.

• Dibuja un diagrama de Venn para $A, B, C, X$ mostrando $A \Delta B$ y así sucesivamente.
• Sabe o muestra que $\Delta$ es asociativo. Eso y el hecho de que $B \Delta B$ es vacío conducen a una demostración algebraica.

Answer 5

A continuación, una prueba usando el hecho de que (1) la diferencia simétrica se puede definir utilizando la operación O exclusiva (XOR), (2) que la operación XOR es la negación del operador bicondicional, y (3) que el operador bicondicional es transitivo

A continuación, por favor lea "we'll" en lugar de "will".