¿Los siguientes conjuntos son un subespacio de$\mathbb{R}^3$?

Question

Son los siguientes conjuntos de un subespacio de $\mathbb{R}^3$?
$$ \begin{array}{l}{\text { 3) }\left\{(a, b, c)^{T} \in \mathbb{R}^{3} | a+2 b+c=0\right\}} \\ {\text { 4) }\left\{(a, b, c)^{T} \in \mathbb{R}^{3} | a^{2}=b^{2}\right\}}\end{array} $$

Vamos a uno de los conjuntos de S. Entonces sé que tengo que mostrar lo siguiente:

a) Que el cero del elemento 0$\in S$
b) $\forall u,v\in S| u+v\in S$
c) $\forall u\in S$ e $\alpha \in\mathbb{R} | \alpha\cdot u\in S$

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Mi attampt en una solución.
3: (a) sea a=b=c=0, el cero vector en el conjunto, y de la ecuación: $a+2b+c=0$ es válido.
(b) $\left( \begin{array}{l}{a} \\ {b} \\ {c}\end{array}\right)+\left( \begin{array}{c}{a^{\prime}} \\ {b^{\prime}} \\ {c}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{c}{a+a^{\prime}} \\ {b+b^{\prime}} \\ {c+c^{\prime}}\end{array}\right)$, $a+a^{\prime}+2\left(b+b^{\prime}\right)+c+c^{\prime}=0$
¿Cómo puedo ver que dada la ecuación, que la suma de los dos elementos del conjunto son todavía en el set?
Las mismas que pasa por (c) la multiplicación de un escalar?

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Lo que sobre para el conjunto de las 4: (b) $\left( \begin{array}{l}{a} \\ {b} \\ {c}\end{array}\right)+\left( \begin{array}{c}{a^{\prime}} \\ {b^{\prime}} \\ {c^{\prime}}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{c}{a+a^{\prime}} \\ {b+b^{\prime}} \\ {c+c^{\prime}}\end{array}\right)$ , $(a+a)^{2}=\left(b+b^{\prime}\right)^{2}$
Es que un subespacio?

No estoy exáctamente seguro de cómo saber si siguen encuentra en el conjunto. O si se acercan a esta pregunta. Podía alguien me muestre o dime, ¿cómo lo harías?

Answer 1

Para la primera vez que usted está en el camino correcto. La suma de dos vectores del subconjunto es en el subconjunto precisamente porque la suma satisface la ecuación de $a+2b+c=0$, que han demostrado ser fir $(a+a',b+b',c+c')$. Lo mismo para el producto por un escalar.

Para el segundo, la ecuación de $a^2=b^2$ está satisfecho tanto por $(a,a,c)$ e $(a,-a,c)$. Pero si el subconjunto $S=\left\{(a, b, c)^{T} \in \mathbb{R}^{3} | a^{2}=b^{2}\right\}$ es un subespacio, la que es también en ella, que es $(2a,0,2c)$ para todos los $a,c$. Pero para $a\ne0$, la ecuación no puede ser satisfecho. Por ejemplo, $(1,1,0)\in S$ e $(1,-1,0)\in S$ pero $(2,0,0)\notin S$, lo $S$ no puede ser un subespacio.

Answer 2

3b. El vector $\begin{pmatrix}a+a'\\b+b'\\c+c'\end{pmatrix}$ satisface $(a+a')+2(b+b')+(c+c')=0$ porque $(a+a')+2(b+b')+(c+c')=(a+2b+c)+(a'+2b'+c')=0+0=0$.

3c. Para $\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\in S$ e $\alpha\in\mathbb{R}$ vemos que $\begin{pmatrix}\alpha a\\\alpha b\\\alpha c\end{pmatrix}\in S$ porque tenemos $a+2b+c=0$ así que debemos tener $\alpha a+2\alpha b+\alpha c = \alpha(a+2b+c)=0$.

Para el 4, que no es un subespacio de $\mathbb{R}^3$ porque viola la condición b, cierre bajo, además. Un simple ejemplo contrario sería que nos ha $\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\in S$, pero su suma, $\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}$, no es en $S$.

Answer 3

En cuanto a (a): Usted tiene que $$a+2b+c=0$$ and $$a'+2b'+c'=0$$ thus $a + 2b+c=a'+2b'+c'$, rearranging and making use of the axioms of a vector space yields: $(a-a')+2(b-b')+(c-c')=0$, según sea necesario.

Para la multiplicación escalar de la necesaria condición también se mantiene. Deje $k$ ser un elemento de $\mathbb{R}$: $$k \cdot (a+2b+c)=k\cdot0 \Leftrightarrow ak + 2(bk) + (ck) = 0.$$

Como para los otros, como otros han mencionado, es suficiente señalar que $(1,1,0)^T$ e $(1, -1,0)^T$ son elementos de la misma, sin embargo, su suma $(2,0,0)^T$ no es desde $2^2 \neq 0^2$.

Answer 4

Para mostrar que $U$ es un subespacio de $V$, tenemos que mostrar que

$$\alpha + k \beta \in U , \quad \forall \alpha, \beta \in U \text{ and scalar } k $$

Así que vamos a elegir dos arbitraria de elementos $x = (x_1,x_2,x_3)$ e $y= (y_1, y_2, y_3)$ en $U$ (como se describe en la sección 4 anterior) tal que

$$x_1^2 = x_2^2 $$ $$\implies x_1 = \pm x_2 \quad (1)$$ $$y_1^2 = y_2^2$$ $$\implies y_1 = \pm y_2 \quad (2)$$ Ahora para $k \in \mathbb{R}$, consideramos el vector,

$$x+ky = (x_1+ky_1, x_2+ky_2, x_3+ky_3)$$

Ahora el uso de $(1)$ e $(2)$ tenemos $4$ de los casos en nuestras manos.

$$x_1 = x_2, y_1=y_2 \quad (3)$$ $$x_1 = -x_2, y_1 = y_2 \quad (4) $$ $$x_1 = x_2, y_1= -y_2 \quad (5) $$ $$x_1 = -x_2, y_1 = -y_2 \quad (6)$$

Es fácil ver que en el caso de (4) y (5) $$x+ky$$ is not in $U$. Por lo tanto, $U$ no es un subespacio de $R^3$.