La multiplicación puntual por función ilimitada nos saca de$L^2(\mu)$

Question

Deje $(X,\mathcal{A},\mu)$ ser $\sigma$-finito medir el espacio y deje $\phi$ ser una función medible que es no un elemento de $L^\infty(\mu)$, es decir, $\phi\not\in L^\infty(\mu)$. Estoy tratando de construir una función de $g\in L^2(\mu)$ tal que $\phi\cdot g\not\in L^2(\mu)$.

Traté de particionamiento $X$ en los conjuntos de $A_k=\{k\leq|\phi|<k+1\}$ así que de alguna manera podría controlar el comportamiento de $g$ en los conjuntos relativos a $\phi$, pero yo necesitaba algo más. Me considera una partición de $X$ en distintos conjuntos de medida finita decir $(X_n)$ y, a continuación, traté de tomar sus compañeros de partición. El problema que surge es que no se puede determinar cuál de los conjuntos de $A_k\cap X_n$ son de no-cero de la medida. Realmente estoy atascado aquí. Alguna idea?

Answer 1

La sustitución de $g$ con $\frac{g\phi}{|\phi|}$ a $X$, que no cambia el $L^2$ norma de $g$ lo primero que se puede tratar el caso de $\phi=|\phi| \ge 0$ y, a continuación, utilizar la anterior para completar el caso general, la redacción de $a_k=\mu(A_k)$, la hipótesis de da $a_k$ cero para infinidad de $k$; para $a_k= \infty$, reemplazamos $A_k$ con un subconjunto finito de medida positiva $b_k$ que existe por sigma finitness, y hacer $g$ cero fuera de que en $A_k$, por lo que en realidad podemos asumir $a_k$ finito para empezar.

A continuación, para todos los $k>0$ con $a_k \ne 0$, vamos a $g= \frac{1}{k\sqrt{a_k}}$ sobre el correspondiente $A_k$ y cero en todas las demás.

Es obvio que la integral de $g^2$ es finito, que está dominado por el $\zeta(2)$, mientras que la integral de $(\phi g)^2$ es de al menos una infinita suma de $1$'s, de manera infinita.