Suma directa interna de kernel de homomorfismo sobreyectivo y subgrupo cíclico.

Question

Estoy estudiando para un examen de calificación en el álgebra, y mi álgebra abstracta habilidades son muy oxidado. Lo que estoy tratando de resolver el siguiente problema:

Supongamos que $\Phi:G\rightarrow\mathbb{Z}$ es un surjective grupo homomorphism del grupo abelian $(G,+)$ para el grupo de los enteros en virtud de la adición. Deje $K$ ser el núcleo de $\Phi$, y deje $g$ ser un elemento de $G$ para que $\Phi(g)=1$. Demostrar que $G$ es el (interna) a la suma directa de $K$ y el subgrupo de $G$ generado por $g$.

Me fue inicialmente lanzado por el hecho de que $\Phi(g)=1$, pensando que esto significaba $g\in K$ como $1$ se utiliza normalmente para referirse a la identidad. Sin embargo, el codominio aquí es $(\mathbb{Z},+)$, por lo que la identidad es en realidad la identidad aditiva de los números enteros, $0$. Por lo tanto $g\notin K$. Que creo que deja claro que $K\cap\langle g\rangle=0$ por un simple homomorphism argumento (algo que el efecto de la $\Phi(ng)=\Phi(g)+\Phi(g)+\cdots+\Phi(g)=1+1+\cdots+1=n\neq0$). Lo que estoy atascado en es como argumentar que $G=K+\langle g\rangle$. Puedo utilizar el primer teorema de isomorfismo la afirmación de que se $\mathbb{Z}\cong G/K$ e $K\triangleleft G$, pero no estoy seguro de cómo esto ayuda.

Edit: tengo que estar pensando en algo malo, como a mí me parece que $\Phi(\langle g\rangle)=\mathbb{Z}_{\geq0}$. Pero esto no permite que el resultado deseado, como $\Phi$ es surjective, significa que todo en $\mathbb{Z}$ obtiene asignada, por lo que específicamente, $\exists h\in G$ s.t. $\Phi(h)=-1$. No hay manera de escribir $h=k+g'$ donde $k\in K$ e $g'\in\langle g\rangle$.

Answer 1

Esta es exactamente la razón por la que yo prefiero denominar la identidad de un grupo general por $e$. No se puede confundir con cualquier cosa. En la mayoría de los libros se denota por a$e$ por el camino.

De todos modos, quiere mostrar que $G=K+\langle g\rangle$. En primer lugar, es claro que $K+\langle g\rangle\subseteq G$, porque la suma de un elemento en $K$ y un elemento en $\langle g\rangle$ es la suma de dos elementos en $G$, por lo tanto pertenece a $G$. Ahora queremos mostrar la otra dirección. Deje $h\in G$. Denotar $n=\Phi(h)$. Supongamos $n>0$. Entonces:

$\Phi(h)=n=1+...+1=\Phi(g)+...+\Phi(g)=\Phi(ng)$.

Ahora denotar $k=h-ng$. A continuación, $\Phi(k)=\Phi(h)-\Phi(ng)=0$. Por lo $h=k+ng$ donde $k\in K,ng\in\langle g\rangle$.

Tenga en cuenta que se supone que $\Phi(h)>0$. Ahora si $\Phi(h)<0$ utilice el hecho de que $\Phi(-h)>0$, lo $-h$ dispone de representación. Y si $\Phi(h)=0$ entonces $h\in K$ y, a continuación, $h=h+0\in K+\langle g\rangle$.

Answer 2

Esto es en realidad un hecho general acerca de la normal de subgrupos.

Deje $G$ ser un grupo con normalidad subgrupo $H$, y deje $S\subseteq G$ ser un máximo de conjunto de los distintos coset representantes de $H$. A continuación, $G$ es la interna, producto directo de la $H$ e $\langle S\rangle$.

Desde $G$ es la unión de cosets de $H$, esto significa que cualquier $g\in G$ se encuentra en algunas $sH$ para $s\in S$. Por tanto hay algo de $h_s\in H$ tal que $g = sh_s$ e lo $g\in \langle S\rangle H$.