Encontrando el supremo de$\left\{n^{\frac{1}{n}}\;\middle\vert\;n\in\mathbb{N}\right\}$

Question

$\left\{n^{\frac{1}{n}}\;\middle\vert\;n\in\mathbb{N}\right\}$

¿Cuál es el Supremum del conjunto anterior?

Considero la función $f(x)= x^{\frac{1}{x}}$ y muestro que $f(x)$ es máximo cuando $x=e$ .

Pero aquí el dominio del conjunto es $\mathbb{N}$ . Entonces, ¿cómo puedo encontrar el supremo del conjunto anterior?

Por favor, que alguien me ayude a resolverlo. Gracias por adelantado.

Answer 1

Usted sabe que como una función real, $x^{1/x}$ es el aumento en $(0, e)$ y disminuyendo en $(e, \infty)$. El mismo debe ser cierto si consideramos que es una función de los números enteros. Que significa que el máximo entre los enteros deben ser a $2$ o a $3$ (desde cualquier otro número entero de entrada debe dar un valor de la función estrictamente menor que uno de estos dos). Ahora acaba de comprobar los dos valores de entrada, y listo.

Answer 2

Tenga en cuenta que $2^{1/2}=4^{1/4}$ . Dado lo que te dice el cálculo, sabes que el supremo se alcanza en $3$ .

Answer 3

Pruebe los números enteros a cada lado de $e$ - ya que el máximo local sobre los reales está en esa área, el máximo sobre los números naturales estará cerca.

Answer 4

El primer par de valores se $1$, $\sqrt 2=1.414\ldots$, $\sqrt[3]3=1.442\ldots$, $\sqrt2$, $\sqrt[5]5=1.379\ldots$, y se sospecha que el $\sqrt[3]3$ es el supremum (o, de hecho, incluso como máximo) de la secuencia. Sólo queda mostrar que, para mayor $n$, tenemos $n^{1/n}<\sqrt[3]3$ o, equivalentemente, $n^3<3^n$. De esta manera se sigue por la inducción después de observar que el lado izquierdo crece por un factor de $\frac{(n+1)^3}{n^3}=1+\frac 3n+\frac 3{n^3}+\frac1{n^3}\le 1+1+\frac13+\frac1{27}<3$ para $n\ge 3$.

Answer 5

Deje que $f(x)=x^{\frac{1}{x}}$ que $\ln f(x)=\frac{1}{x}\ln x$ y $\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2}\ln x$

$f'(x)=\frac{x^{\frac{1}{x}}}{x^2}(1-\ln x)<0$ para $x\geq 3$ . Esto significa que nuestra función está disminuyendo y solo tenemos que verificar 3 valores:

$1^1<\sqrt{2}<3^{\frac{1}{3}}$