$\forall a > 0$$\sum_{n=1}^{\infty} f(na)$ es convergente. Demostrar que$\int_{0}^{\infty}f(x) dx$ es convergente.

Question

Hola, ¿puedes ayudarme a resolver este ejercicio? Gracias. Sea $f: [0;+\infty) \to \mathbb{R}$ una función no negativa y continua. Supongamos que $\forall a > 0$ $\sum_{n=1}^{\infty} f(na)$% es convergente. Demostrar que $\int_{0}^{\infty}f(x) dx$ es convergente. Intenté resolverlo utilizando la suma de Riemann, pero para una solución no funciona. No tengo otras ideas.

Answer 1

1. Deje $f$ ser un no-negativo de la función de tal, que no existe números de $a<b$ verificar $$\tag{*}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac 1n\int_{an}^{bn}f(u)du<+\infty. $$ A continuación, $\int_{0}^{+\infty}f(u)du$ es finito.

   De hecho, sin pérdida de generalidad, supongamos que $a=1$ (hacer la sustitución de $at=u$ y reemplace $f$ por $x\mapsto f(ax)$). Elija un número de $c$ tal que $1<c^2<b$ y definen $c_N:=\left[c^N\right]$. Entonces $$b\left(c_N+1\right)>bc^N>c^{N+2}\geqslant c_{N+2}.$$ En la serie participan en (*), cortar el índice de la sumatoria de acuerdo a $c_N+1\leqslant n\leqslant c_{N+1}$ con el fin de obtener $$ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac 1n\int_{n}^{bn}f(u)du\geqslant \sum_{N\geqslant 0}\sum_{n=c_N+1}^{c_{N+1}} \frac 1n\int_{c_{N+1}}^{b(c_N+1)} f(u)du\geqslant \sum_{N\geqslant 0}\frac{c_{N+1}-c_N}{c_{N+1}}\int_{c_{N+1}}^{ c_{N+2}} f(u)du$$ por lo tanto la serie $\sum_{N\geqslant 0} \int_{c_{N+1}}^{ c_{N+2}} f(u)du$ converge, lo que demuestra la demanda.

2. Entonces, ¿cuál sería útil sería la convergencia uniforme de $\sum_{n=1}^{\infty} f(nx)$ al menos en un no-intervalo vacío. Definir $$ F_N:=\left\{x\geqslant 0, \sum_{n=1}^{+\infty}f(nx)\leqslant N\right\}. $$

   • Para cada uno de ellos fijo $N$, la $F_N$ es cerrado, ya que puede ser escrito como la intersección de los conjuntos de $G_m$, donde $G_m=\left\{x\geqslant 0, \sum_{n=1}^{m}f(nx)\leqslant N\right\}$ que es la inversa de la imagen del conjunto cerrado $[0,N]$ por la función continua $x\mapsto \sum_{n=1}^{m}f(nx)$.
   • Por supuesto, $[0,\infty)=\bigcup_{N\geqslant 1}F_N$.

   En consecuencia, por Baire teorema, una de las $F_N$, decir $F_{N_0}$ tiene un no-vacío interior y contiene un intervalo de $[x_0-2r_0,x_0+2r_0]$ (vamos a suponer también que $r_0\lt x_0$).

3. Para cada una de las $x\in [x_0-r_0,x_0+r_0]$, $\sum_{n=1}^{+\infty}f(nx)\leqslant N_0$ por lo tanto la integración en este intervalo y la conmutación de la serie y la integral (sin tener que preocuparse, ya que todo no es negativo), obtenemos $$\sum_{n=1}^{+\infty}\int_{x_0-r_0}^{x_0+r_0}f(nx)dx\leqslant 2N_0r_0.$$

4. En cada integral, hacer la sustitución de $u=nx$ y aplicar el punto 1. a $a=x_0-r_0$ e $b=x_0+r_0$.