Evaluar

Question

Problema

Deje $a_1=3,a_{n+1}=a_n^2+a_n(n=1,2,\cdots)$ . Evaluar $$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1+a_1}+\frac{1}{1+a_2}+\cdots+\frac{1}{1+a_n}\right).$ $

Intento

Aviso $$\frac{1}{1+a_n}=\frac{a_n}{a_n+a_n^2}=\frac{a_n}{a_{n+1}}$ $ Entonces $$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+a_k}=\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{a_{k+1}}.$ $ ¿ Esto ayudará?

Answer 1

La serie es convergente.

Vamos a considerar en primer lugar la suma de $n$ términos.

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{a_{k+1}}$$

Multiplicar por $a_k$ y el uso de la recursividad relación para la sustitución de $(a_k)^2 = a_{k+1} - a_{k}$. Tenemos,

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{a_{k+1} - a_k}{a_{k+1}a_k} =\sum_{k=1}^{n}\left ( \frac{1}{a_{k}} -\frac{1}{a_{k+1}}\right)$$

$$= \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_{n+1}}$$

Ahora tenga en cuenta que a partir de la relación de recursividad se puede obtener que $$\lim_{n \to \infty} a_n \to \infty$$

Por lo tanto la serie converge a $\frac{1}{3}$.

Edit: Había cometido un error en la solución. Se han corregido y actualizado ahora.

Answer 2

Demuestre que $$ \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ frac {1} {1 + a_ {k}} = \ frac {1} {3} - \ frac {1} {a_ {n +1} } $$ por inducción en $n$ . Entonces el límite es $1/3$ .

Answer 3

Gracias por tu aclaración. Aquí es una solución que se ha completado.

Es fácil de demostrar una desigualdad $~\forall n \in \mathbb{N^+}:a_n\geq n~$. Obviamente, no tiene por $~n=1~$. Supongamos que tiene de $~n=k~$，es decir$~a_k\geq k~$. Entonces $$~a_{k+1}=a_k^2+a_k\geq k^2+k=k(k+1) \geq k+1,~$$which implies the inequality holds for $n=k+1$.Therefore, it holds for all $n$ by induction. Hence,$~a_n \+\infty(n \to \infty)~$，and as a result, $1/a_n \a 0.$ De ello se sigue que \begin{align*} \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+a_k}&=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{a_k}{a_k+a_k^2}=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{a_k}{a_{k+1}}=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{a_k^2}{a_ka_{k+1}}\\ &=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{a_{k+1}-a_k}{a_ka_{k+1}}=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{a_k}-\frac{1}{a_{k-1}}\right)\\ &=\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_{n+1}}\right)\\ &= \frac{1}{3}. \end{align*}