La convergencia de las integrales en $L^p$

Question

Pegado con este problema de Zgymund del libro.

Supongamos que $f_{n} \rightarrow f$ en casi todas partes y que $f_{n}, f \in L^{p}$ donde $1<p<\infty$. Suponga que $\|f_{n}\|_{p} \leq M < \infty$. Probar que:

$\int f_{n}g \rightarrow \int fg$ $n \rightarrow \infty$ todos los $g \in L^{q}$ tal que $\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1$.

A la derecha, así que la estimación de la diferencia de las integrales y el uso de Hölder terminar con:

$$\left|\int f_{n} g - \int fg\right| \leq \|g\|_{q} \|f_{n} - f\|_{p}$$

A partir de aquí yo estoy atascado porque no estamos asumiendo que la convergencia en el seminorm pero sólo pointwise convergencia en casi todas partes. ¿Cómo proceder?

Answer 1

SUGERENCIA

Por Egorova del teorema de convergencia de una.e. implica para cada $\epsilon$ existe $B$ $|B| < \epsilon$ tal que $f_n\to f$ uniformemente en $X\setminus B$ (donde $X$ es "casi" todo el espacio).

Split $\int (f_n - f)g$ en dos pedazos, uno más de $B$ y $X\setminus B$. En $X\setminus B$ convergencia uniforme implica que la integral puede hacerse tan pequeña como se desee. Del titular de la desigualdad implica que la integral en $B$ es controlado por $(M + \|f\|_p)\|g\|_{L^q(B)}$. Tomando $B\searrow$ un conjunto de medida cero, entonces la integral en $B$ $g$ va a cero.

Acabado por tomar un diagonalizing secuencia como de costumbre.

Answer 2

Aquí es una prueba de que no está basado en Egoroff del teorema. Como Jonas T señala en otra respuesta, Fatou del Lema implica $$\int|f|^p=\int\lim |f_n|^p =\int\liminf |f_n|^p \le \liminf\int |f_n|^p \le M^p$$ y, por tanto,$f\in L^p$.

En este punto, podemos asumir $f=0$ (considere el problema con $f_n$ reemplazado por $f_n-f$), y debemos mostrar $\int f_ng\to 0$.

Fijar un número $A\gt0$, y deje $E_n=\{x: |f_n(x) g(x)|\le A|g(x)|^q\}$ donde $q=p/(p-1)$ (el conjugado de a $p$). Dominado por la convergencia que hemos $$\int_{E_n}f_ng\,dx\to0$$ En el complemento, $E_n^c =X-E_n$,$|g|^{q}\le A^{-1}|f_n g|$. Por lo tanto, por Hölder la desigualdad $$\int_{E_n^c}|f_ng|\,dx\le\left(\int_{E_n^c} |f_n|^p\right)^{1/p}\left(\int_{E_n^c} |g|^q\right)^{1/q}\le M A^{-1/q}\left(\int_{E_n^c}|f_ng|\,dx\right)^{1/q}$$ En otras palabras $$\left(\int_{E_n^c}|f_ng|\,dx\right)^{1-1/q}\le MA^{-1/q}$$ que es $$\limsup_n\int_{E_n^c}|f_ng|\,dx\le M^pA^{-p/q}.$$ En total se han mostrado $$\limsup_n\int|f_ng|\,dx\le M^pA^{-p/q}$$ para todos los $A\gt0$, a partir de la cual ser a la conclusión de $$\lim_n\int|f_ng|=0.$$

Answer 3

No estoy muy convencido por Willie Wong argumento, aunque no me cabe duda de que es correcta, pero no termino de rellenar los datos (especialmente el Egoroff parte) así que he hecho mi propia (inspirada en la de él).

Primera nota de que la hipótesis de que la $f \in L^p$ es redundante por Fatou del lexema. Ahora tenga en cuenta que nosotros como bien podría considerar la posibilidad de $f_n \to 0$ débilmente (la conclusión de que realmente significa débil-convergencia) por la linealidad.

Ahora tenga en cuenta que: \begin{align*} F_n &: L^q \to \mathbf{K}\\ g & \mapsto \int f_n g. \end{align*} define claramente delimitado operador lineal operador en $L^q$ por Hölder con operatornorm menor o igual a $M$.

Recuerde que el stepfunctions son densos en $L^q$. Por la linealidad y la continuidad es suficiente para considerar indicatorfunctions $1_A$ $A$ tener finito medida. Ahora tenemos un número finito de medir el espacio para que podamos utilizar Egoroff.

Queremos mostrar que

$$\int_A f_n \to 0.$$

Así, ahora se encuentran con un $B$ $|B| \leq \epsilon$ tal que $f_n$ converge uniformemente a$0$$A \setminus B$.

Así, por suficientemente grande $n$ tenemos que

$$\int_{A \setminus B} |f_n| \leq \epsilon |A \setminus B| \leq \epsilon |A|.$$

Y,

$$\int_{B} |f_n| \leq |B|^{1/q} \|f_n\|_p \leq \epsilon^{1/q} \|f_n\|_p.$$

KTHXBYE.

Answer 4

Esto es sólo otra respuesta, tratando de producir un conjunto finito de medida a aplicar Egorova del Teorema de la secuencia de ${f_k}$.

Utiliza el libro de la Medida y la Integral por Richard L. Wheeden y Antoni Zygmund, yo también, así que me referiré a algunas partes de ese libro.

Lema 1. Supongamos que $f\in L(\mathbb{R}^d)$, $$\lim_{n\to\infty}\int \vert f\chi_{B(0,n)^c} \vert=0,$$ donde $B(0,n)=\{\mathbf{x}\in \mathbb{R}^d:\Vert \mathbf{x}\Vert\lt n\}$ y el superíndice $c$ es para complementar.

Prueba. Considerar la secuencia de $\{f_k\}$ dada por $$f_k=f\chi_{B(0,k)^c}.$$ Then $\vert f_k\vert\searrow 0$ and $\vert f_k\vert\leq \vert f\vert$ since $\vert f_k\vert\a 0$ as $k\to\infty$, and $\vert f\vert\en L$ por la Monotonía Teorema de Convergencia (5.32(ii)) obtenemos el resultado deseado.

Lema 2. Deje $f\in L(E)$. Dado $\epsilon\gt 0$, $\delta \gt 0$ s.t. si $A\subseteq E$ $m(A)\lt \delta$ $$\int_A f\lt \epsilon.$$

El anterior Lema es solo el Teorema de (7.1). El fondo de este teorema se encuentra al principio del Capítulo 7.

Solución al ejercicio. Deje $g\in L^q$. En primer lugar observamos que si $\Vert g\Vert_q=0$$g=0$.e. y no hay nada que demostrar. Supongamos que $\Vert g\Vert_q\gt 0$. Deje $\epsilon\gt 0$. Como consecuencia de Fatou del Lema, y Minkowski de la Desigualdad, obtenemos $\Vert f-f_k\Vert_p\leq 2M$.

Por el Lema 1, no existe $N\in \mathbb{N}$ s.t. $$\int_{B(0,N)^c} \vert g\vert^q\lt \left( \frac{\epsilon}{6M} \right)^q.$$ Deje $B=B(0,N)$.

Por el Lema 2, no existe $\delta\gt 0$ s.t. si $m(A)\lt\delta$ $$\int_A \vert g\vert^q\lt \left( \frac{\epsilon}{6M} \right)^q.$$

Desde $f_k\to f$ pointwise una.e. y $m(B)\lt \infty$, por Egorova del Teorema de no existir $E\subseteq B$ tal que $f_k\to f$ uniformemente en $E$ $m(B\setminus E)\lt \delta.$

Desde $f_k\to f$ uniformemente en $E$, existe una $N'\in\mathbb{N}$ s.t. si $k\geq N'$ $$\Vert f_k-f\Vert_{\infty,E}\lt \frac{\epsilon}{3\Vert g\Vert_q m(E)}.$$

Entonces si $k\geq N'$, obtenemos $$\begin{align*} \int \vert f_k-f\vert\vert g\vert &= \int_{E} \vert f_k-f\vert\vert g\vert + \int_{B\setminus E} \vert f_k-f\vert\vert g\vert + \int_{B^c} \vert f_k-f\vert\vert g\vert\\ &= \int (\vert f_k-f\vert\chi_E)\vert g\vert + \int \vert f_k-f\vert\vert g\chi_{B\setminus E}\vert + \int \vert f_k-f\vert\vert g\chi_{B^c}\vert \end{align*}$$ aplicar Hölder de la desigualdad de los tres términos $$\begin{align*} \int \vert f_k-f\vert\vert g\vert &= \Vert (f_k-f)\chi_E\Vert_p\Vert g\Vert_q + \Vert f_k-f\Vert_p\Vert g\chi_{B\setminus E}\Vert_q+\Vert f_k-f\Vert_p\Vert g\chi_{B^c}\Vert_q\\ &\leq \Vert f_k-f\Vert_{\infty,E}m(E)\Vert g\Vert_q + 2M\Vert g\chi_{B\setminus E}\Vert_q+2M\Vert g\chi_{B^c}\Vert_q\\ &\lt \epsilon. \end{align*}$$ Todo esto dice que $\Vert f_kg-fg\Vert_1\to 0$.

Tenga en cuenta que para $p=1$ el resultado de la falla. Tome $f_k=k\chi_{[0,1/k]}$$g=\chi_{[0,1]}\in L^\infty$. Entonces $f_k\to 0$, $\Vert f_k\Vert_1=1$ para cada una de las $k$, e $\int fg=0$ pero $\int f_kg=\int f_k=1$ por cada $k$.