Cálculo de la suma de las series convergentes$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-n}{9n^3-n}$

Question

Me cuesta calcular la suma de esta serie:

PS

Intenté dividirlo en tres series separadas como esta: $$2+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-n}{9n^3-n}$ $ pero no puedo continuar, ¿me puede dar algunos consejos?

Answer 1

Reescribamos $\frac{1}{n}$ como $\frac{3}{3n}$ , para que su suma sea $S+2$ con $$S:=\sum_{n\ge 1}\left(\frac{1}{3n-1}-\frac{3}{3n}+\frac{2}{3n+1}\right)\\=\sum_{n\ge 1}\int_0^1 x^{3n-2}\left(1-3x+2x^2\right)\mathrm dx=\int_0^1\frac{x-3x^2+2x^3}{1-x^3}\mathrm dx.$$Thus $$S+2=\int_0^1\frac{2+3x}{1+x+x^2}\mathrm dx=\frac32\int_0^1\frac{1+2x}{1+x+x^2}\mathrm dx+\frac12\int_0^1\frac{\mathrm dx}{1+x+x^2}.$ $ El resto lo dejaré para usted.

Answer 2

Para la evaluación directa de el límite, han recibido la buena solución de J. G.

También podría considerar la suma parcial de usar, como lo hizo, parcial fracción de descomposición $$\frac{1-n}{9n^3-n}=\frac{1}{3 n-1}+\frac{2}{3 n+1}-\frac{1}{n}$$ lo que hace $$S_p=\sum_{n=1}^{p}\frac{1-n}{9n^3-n}=\frac{1}{3} \left(\psi \left(p+\frac{2}{3}\right)-\psi \left(\frac{2}{3}\right)\right)+\frac{2}{3} \left(\psi \left(p+\frac{4}{3}\right)-\psi \left(\frac{4}{3}\right)\right)-H_p$$ donde aparece la función digamma y número armónico.

Ahora, utilizando asymptotics y series de Taylor debe llegar a $$S_p=-\left(\gamma +\frac{1}{3}\psi\left(\frac{2}{3}\right)+\frac{2}{3} \psi \left(\frac{4}{3}\right)\right)+\frac{1}{9 p}-\frac{1}{9 p^2}+O\left(\frac{1}{p^3}\right)$$ que muestra el límite y cómo abordarla.

Ahora, los valores particulares $$\psi\left(\frac{2}{3}\right)=-\gamma +\frac{\pi }{2 \sqrt{3}}-\frac{3 \log (3)}{2}$$ $$\psi\left(\frac{4}{3}\right)=3-\gamma -\frac{\pi }{2 \sqrt{3}}-\frac{3 \log (3)}{2}$$hacer $$S_p=\left(-2+\frac{\pi }{6 \sqrt{3}}+\frac{3 \log (3)}{2}\right)+\frac{1}{9 p}-\frac{1}{9 p^2}+O\left(\frac{1}{p^3}\right)$$

Para $p=10$, el valor exacto es $-\frac{477820712081}{12033629407800}\approx -0.039707$ , mientras que el anterior truncado expansión da $-\frac{199}{100}+\frac{\pi }{6 \sqrt{3}}+\frac{3 \log (3)}{2}\approx -0.039782$.