Encontrar todos los$z \in \Bbb C$, expresados en la forma$z = a + ib$, con$a, b \in \Bbb R$, que satisface la ecuación$z^3 = -i$

Question

Estoy tratando de encontrar todos los $z \in \Bbb C$, expresado en la forma $z = a + ib$, $a, b \in \Bbb R$, satisfaciendo la ecuación de $z^3 = -i$.

He descubierto que

$$(a + ib)^3 = -i \Longleftrightarrow a + ib = \sqrt[3]{-i} \Longleftrightarrow a + ib = -i$$

y también que

$$(a+ib)^3 = a^3 + 3a^2bi + 3ab^2i^2 +i^3b^3$$

pero no estoy seguro de cómo proceder a partir de aquí.

Creo que estoy supone que el uso de la división sintética para encontrar la otra raíces, pero no estás seguro de qué factor a utilizar. He intentado $a + ib + i$ y que no el trabajo.

Alguna idea?

Answer 1

Deje $z=a+ib$. Usted tiene $$\begin{align*} (a+ib)^3 & = -i\\ a^3 + 3a^2bi - 3ab^2 -ib^3 & =-i\\ (a^3-3ab^2)+i(3a^2b-b^3) & =-i \end{align*}$$ Igualar las partes real e imaginaria en ambos lados para obtener $$\begin{align*} a^3-3ab^2 =a(a^2-3b^2)& =0\\ 3a^2b-b^3 =b(3a^2-b^2)& =-1 \end{align*}$$ Desde la primera de estas ecuaciones, obtenemos bien $a=0$ o $a^2=3b^2$.

Con $a=0$, a partir de la segunda ecuación, obtenemos $b^3=1$. Desde $b \in \mathbb{R}$, lo $b=1$. Esto le da a $\color{red}{z=i}$ como una solución.

Con $a^2=3b^2$, a partir de la segunda ecuación, obtenemos $8b^3=-1$. Desde $b \in \mathbb{R}$, lo $b=-\frac{1}{2}$. En consecuencia, obtenemos $a=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ Esto da $\color{red}{z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}}$ e $\color{red}{z=\frac{-\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}}$ como otras dos soluciones.

Answer 2

Sin el uso de representación polar:

Tenga en cuenta que

$i^3 = i^2 i = (-1)i = -i; \tag 1$

por lo tanto $i$ es una solución de

$z^3 = -i, \tag 2$

que puede ser re-escrita como

$z^3 + i = 0; \tag 3$

podemos buscar los otros ceros de (2)-(3) a través de la división sintética; buscamos

$z - i \overline{)z^3 + i}; \tag 4$

tenemos:

$z \; \text{into} \; z^3 \; \text{yields} \; z^2; \tag 5$

$z^2 \times (z - i) = z^3 - iz^2; \tag 6$

$z^3 + i - (z^3 - iz^2) = iz^2 + i = i(z^2 + 1) = i(z + i)(z - i) ; \tag 7$

ahora podemos saltar a la persecución por darse cuenta de que

$(z - i) \overline{)i(z + i)(z - i)} = i(z + i) = iz - 1; \tag 8$

por lo tanto, el cociente debe ser

$(z - i) \overline{)z^3 + i} = z^2 + iz - 1; \tag 9$

comprobamos:

$(z - i)(z^2 + iz - 1) = z^3 + iz^2 - z - iz^2 + z + i = z^3 + i; \tag{10}$

el cociente de (4) es por lo tanto el cuadrática $z^2 + iz - 1$; usamos la fórmula cuadrática:

$z = \dfrac{1}{2} (-i \pm \sqrt{i^2 - 4(1)(-1)}) = \dfrac{1}{2}(-i \pm \sqrt 3), \tag{11}$

que se pueden comprobar fácilmente para satisfacer (3); dejo que la simple tarea para mis lectores. Así como las tareas de conversión de nuestras raíces totalmente adecuado $a + bi$ formulario.

Answer 3

Para encontrar $z$ tal que $z=(-i)^\frac{1}{3}$ . Así que escribe $-i=\cos(\frac{\pi}{2})+i \sin (-\frac{\pi}{2})$

$z^3=-i$ implica

$z=(-i)^\frac{1}{3}=\Big(\cos(\frac{\pi}{2})+i \sin (-\frac{\pi}{2})\Big)^\frac{1}{3}=\Big(\cos(2k\pi+\frac{\pi}{2})+i \sin (2k\pi-\frac{\pi}{2})\Big)^\frac{1}{3}$

que es igual a $$\cos\Big(2k+\frac{1}{2}\Big)\frac{\pi}{3}+i \sin \Big(2k-\frac{1}{2}\Big)\frac{\pi}{3}$$ where $k = 0,1,2$