¿Es correcto mover x hacia abajo en$2^x - 2^3 < 0$?

Question

Tengo$2^x - 2^3 < 0$ y creo que es correcto concluir que$x - 3 < 0$ pero un amigo de la mente no está de acuerdo conmigo. Me preguntaba si existe tal propiedad o axioma?

Answer 1

Dado que$\log_2(x)$ es una función monótona, \begin{align} \notag 2^x-2^3 < 0 &\Rightarrow 2^x<2^3\\ \notag &\Rightarrow \log_2(2^x) < \log_2(2^3)\\ \notag &\Rightarrow x<3\\ \notag &\Rightarrow x-3<0. \end {align}

Answer 2

La aserción$$2^x-2^3\lt0\implies x-3\lt0

es de hecho cierto Pero la afirmación general

PS

no es. Solo es cierto cuando$$a^x-a^3\lt0\implies x-3\lt0$.

Answer 3

Piénsalo de esta manera. La desigualdad que tienes es equivalente a$2^x < 2^3$. Ahora, la función$f(x)=2^x$ es una función estrictamente creciente y, por lo tanto,$2^x < 2^3 \implies x<3$. Entonces, su conclusión es correcta, pero "mover el$x$ hacia abajo" no es realmente una explicación adecuada.

Answer 4

$$\begin{align*} 2^x -2^3 &< 0\\ 2^x&<2^3\\ \ln 2^x &< \ln 2^3\\ x\ln 2 &< 3 \ln 2\\ x&<3 \end {align *}$$

Answer 5

Esto se puede probar simplemente:$2^x - 2^3 < 0 \Leftrightarrow 2^3(2^{x-3} - 1) < 0 \Leftrightarrow 2^{x-3} < 1 \Leftrightarrow x-3 < \log_21 \Leftrightarrow x-3 < 0$