Respecto a la prueba de que matrices similares tienen el mismo polinomio característico.

Question

La prueba es:

PS

Lo que no entiendo es por qué$$|\lambda I-P^{-1}AP|=|P^{-1}(\lambda I)P-P^{-1}AP|=|P^{-1}((\lambda I)P-AP)|=|P^{-1}((\lambda I)-A)P)|=|P^{-1}|\cdot|((\lambda I)-A)|\cdot|P|=|\lambda I-A|$ ¿por qué podemos multiplicar$|\lambda I-P^{-1}AP|=|P^{-1}(\lambda I)P-P^{-1}AP|$?

Answer 1

$\lambda I=\lambda (P^{-1}IP)=P^{-1}(\lambda I)P$

Answer 2

Esto es simple:

• $I=P^{-1}P$ y$P^{-1}P=P^{-1}IP$
• Multiplica por el escalar$\lambda$, obtienes:$\lambda I = \lambda P^{-1}IP$
• Los escalares se pueden mover a cualquier parte del producto, resultado:$\lambda I = P^{-1}(\lambda I)P$

Tenga en cuenta que su igualdad$|\lambda I|=|P^{-1}(\lambda I)P|$ es verdadera pero no puede usarse para responder su pregunta.

Answer 3

Entonces$I$ es la matriz de identidad y$\lambda$ es un número. Ahora claramente$P^{-1}IP=I$ ya que la matriz de identidad conmuta con cualquier matriz, es decir,$AI=IA$ para todos$A$. Ahora simplemente multiplique la identidad$P^{-1}IP=I$ por$\lambda$.

Además,$|A|$ denota el determinante de$A$. Así que el resto se deduce del hecho de que$\det(AB)=\det(A)\det(B)$ y$\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}$.