Estoy tratando de derivar esto para mostrar que
\int_{0}^{\infty} f(x)dx = \int_{0}^{\infty} \frac{F(t)}{t} dt
y usar eso para probar
\int_{0}^{\infty} \frac{\sin t}{t} = \frac{\pi}{2}
¿Cómo puedo demostrar que \int_{s}^{\infty} f(x)dx = \mathcal{L} \{\frac{F(t)}{t}\} dado f(x) = \int_{0}^{\infty} e^{-xt}F(t)dt
Observe que \frac{e^{-st}}{t} = \int_s^{\infty} e^{-xt} dx. Entonces
\int_0^{\infty} e^{-st} \frac{F(t)}{t} dt = \int_0^{\infty} \int_s^{\infty} e^{-xt} dx F(t) dt = \int_s^{\infty} \int_0^{\infty} e^{-xt} F(t) dt dx = \int_s^{\infty}f(x)dx, donde en la segunda igualdad he supuesto que F es lo suficientemente agradable como para poder intercambiar el orden de integración.
Muchas gracias. Desde F(t) es una función de t debería permitir el intercambio por orden de integración.
En general eso no sería suficiente, pero para F(t) = \sin t funciona en virtud del hecho de que tiene e^{-xt} y uno de sus límites inferiores es mayor que cero. Por la forma en que planteaste tu pregunta, no me pareció que fuera un punto de fricción especialmente importante, así que lo pasé por alto, pero si te interesa, busca el teorema de Fubini y el teorema de Tonelli.
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