Polinomio mínimo de elementos de campo de extensión relacionados, dado polinomio mínimo de$\alpha$

Question

Estoy tratando de determinar los polinomios mínimos de$-\alpha$,$1-\alpha$,$2\alpha$ y$1/\alpha$, dado que el polinomio mínimo de$\alpha$ es$x^3-x-1$.

Ya que$x^3-x-1$ es el polinomio mínimo de$\alpha$, tenemos$\alpha^3-\alpha-1=0$. Entonces,$\alpha^3=\alpha+1$ y$-(\alpha^3-\alpha-1)=0$, así que$-\alpha^3+\alpha+1=0$, y por lo tanto$-\alpha$ satisface$x^3+x+1=0$. ¿Sería ese el polinomio mínimo? ¿Cómo obtendría los otros polinomios mínimos solicitados? ¡Gracias!

Answer 1

Sugerencia $\ $ Variables de cambio:$\ \beta = a\alpha+b\,\Rightarrow\ \alpha = (\beta-b)/a,\,$ para$\, 0 = f(\alpha) = f((\beta-b)/a) = g(\beta)\,$ y$\,f\,$ irreducble$\,\Rightarrow\, g\,$ irreducible.

Answer 2

puede resolver de esta manera: deje que$\beta=f(\alpha)$ escriba$\alpha=g(\beta)$ y ponga g en el polinomio mínimo, el resultado sería una función de$\beta$ si no es un polinomio y luego lo transforma, esto Es el mínimo polinomio que buscas. Por ejemplo,$\beta=1-\alpha$ así que$\alpha=1-\beta$ y$(1-\beta)^3-(1-\beta)-1=0$ solo tienes que resolverlo.