Encuentre el resto cuando $787^{777}$ se divide por $100$ ?

Question

Encuentre el resto cuando $787^{777}$ se divide por $100$ ?

MyApproach

$787^{20\times38+17}$ = $787^{17}$ =Se obtendrá el último dígito del resto como 7, pero cómo calcular rápidamente el dígito de las decenas en esta pregunta utilizando sólo este enfoque.

Del mismo modo, encuentra el resto cuando $948^{728}$ se divide por $100$ .

Al resolverlo obtengo $948^8$ =Se obtendrá el último dígito del resto como 7, pero cómo calcular rápidamente el dígito de las decenas en esta pregunta utilizando sólo este enfoque.

De nuevo aquí cómo calcular los otros dígitos rápidamente.

Answer 1

Sugerencia

$787^3 \equiv 03\pmod {100}$ y $3^{20} \equiv 01 \pmod {100}$

Ahora el problema es mucho más sencillo. Los dos últimos dígitos de $787^{780}$ son $01$ . Ahora puedes trabajar fácilmente hacia atrás.

Otro problema

Puede abordarlo de forma similar observando

$948^2 \equiv 04\pmod {100}$ y $4^{16} \equiv 04 \pmod {100}$

(No vas a tener suerte porque con un número par, nunca obtendrás un $01$ )

Edición - Alternativa para el primer problema

Puedes usar el pequeño teorema de Fermat, sabiendo $\phi(100) = 40$ .

Así que cualquier número, relativamente primo con $100$ , elevado a $40$ dará $01$ y por lo tanto los dos últimos dígitos de $787^{780}$ son $01$

Answer 2

$787\equiv-13\pmod{100}$

$\implies787^{777}\equiv(-13)^{777}\equiv-13^{777}$

Ahora $13^2=170-1\implies13^{777}=13(-1+170)^{388}$

y $(-1+170)^{388}\equiv(-1)^{388}+\binom{388}1(-1)^{387}170\pmod{100}$ $\equiv1-388\cdot170$

De nuevo como $388\cdot17\equiv6\pmod{10},388\cdot170\equiv60\pmod{100}$

Espero que puedas seguir adelante.

Answer 3

$$787^{777}\equiv x(mod~100)$$ y necesitas encontrar $x$ . Vayamos por este camino

En cada paso tomaremos sólo los dos últimos dígitos, ya que el resto cuando se divide por $100$ depende del último $2$ sólo dígitos. Así que $$787^{777}=(787^3)^{259}$$ Ahora no tienes que hacer la multiplicación completa, sólo encontrar los dos últimos dígitos de $87*87$ y multiplicarlo por $87$ y de nuevo dejó todos los dígitos excepto los dos últimos. Hazlo para cada caso siguiente $$787^{777}\equiv(787^3)^{259}\equiv(03)^{259}\equiv(03^7)^{37}\equiv(87)^{37}\equiv(87^3)^{12}\cdot87\equiv(03)^{12}\cdot87\equiv(3^6\cdot3^6)\cdot87\equiv(729\cdot729)\cdot87\equiv(29\cdot29)\cdot87\equiv41\cdot87\equiv3567\equiv67(mod~100)$$

Así que la respuesta es $67$ cuando $787^{777}$ se divide por $100$

Para su segunda pregunta, el mismo enfoque funciona y la solución resulta ser así $$948^{728}\equiv(48^2)^{364}\equiv(04)^{364}\equiv(04^7)^{52}\equiv(2^{14})^{52}\equiv(96)^{52}\equiv(96^2)^{26}\equiv(16)^{26}\equiv(16^2)^{13}\equiv(56)^{13}\equiv(56^2)^6\cdot56\equiv(36)^6\cdot56\equiv(36^2)^3\cdot56\equiv(96)^3\cdot56\equiv(96)^2\cdot96\cdot56\equiv16\cdot96\cdot56\equiv36\cdot56\equiv2016\equiv16(mod~100)$$

Así que la respuesta es $16$ es el resto cuando $948^{728}$ se divide por $100$

Con este método, aprendí a calcular las dos últimas cifras (o más) de un número porque es fácilmente comprensible.

Answer 4

Tenemos $\pmod{100}$

$$787^{777}\equiv 87^{777}$$

Y tenemos las siguientes factorizaciones

$$87=3\times 29$$ $$777=3\times 7\times 37$$

$$87^3=658503\equiv 3\pmod{100}$$

Y así

$$787^{777}\equiv 3^{7\times 37}\pmod{100}$$

Ahora tenemos $3^7=2187\equiv 87$ y así

$$787^{777}\equiv (3\times 29)^{37}\pmod{100}$$

Así que ahora nos queda $3^{37}$ y $29^{37}$ $\pmod{100}$ .

Un cálculo directo muestra que $3^{15}=14348907\equiv 7\pmod{100}$ y $3^7=2187\equiv 87$ así que

$$3^{37}\equiv 7\times 7\times 87=4263\equiv 63\pmod{100}$$

Otro cálculo directo (y doloroso) muestra que $29^7=17249876309\equiv 9$ y $29^{10}=420707233300201\equiv 1$ y así

$$29^{37}\equiv 9\pmod{100}$$

Y ahora juntando los dos resultados

$$787^{777}\equiv 9\times 63=567\equiv 67\pmod{100}$$