Comenzando con$13^{2013}$ podemos obtener$2013^{13}$ mediante el siguiente proceso.

Question

Este es el problema que me he encontrado en una pregunta de papel. El problema es:

Un entero positivo es escrito en el pizarrón. Que en repetidas ocasiones que borrar su unidad de dígitos y agregar 4 veces el dígito a lo que queda. Comenzando con el número de $13^{2013}$ podemos terminar en $2013^{13}$.

Yo realmente no sé cómo resolver este tipo de problemas.

En primer lugar pensé que yo debería empezar por encontrar el último dígito de la $13^{2013}$, pero este método no es el ideal para este tipo de problemas.

¿Cuál debería ser mi enfoque para resolver este tipo de problemas.

Por favor me ayudan en el aprendizaje de una cosa en matemáticas.

Answer 1

La otra opción -

Tenga en cuenta que$3 \mid 2013$ y$3 \nmid 13^k$

$ 10a + b = 9a + (a + b) \ equiv (a + b) \ bmod 3 \\ a +4b = (a + b) +3b \ equiv (a + b) \ bmod 3 \\ \ por lo tanto 10a + b \ equiv a +4b \ bmod 3 $

El proceso de borrado de dígitos transforma$10a+b$ en$a+4b$ y preserva la clase de congruencia$\pmod 3$

Como$2013^{13}$ y$13^{2013}$ están en diferentes clases de congruencia$\pmod 3$, el proceso de borrado no puede transformar uno en otro.

Answer 2

Para simplificar la notación, para $n=10a+b$ $a\in\mathbb{N}$ $b\in\{0,1,2,\dots,9\}$ definir $P(n)=P(10a+b) = a+4b$. Es decir, $P(n)$ es, precisamente, la función que describe de eliminar el dígito final y la adición de 4 veces el eliminado dígitos para el resto de la serie.

Tenga en cuenta que $13|n \Leftrightarrow 13|P(n) \Leftrightarrow 13|P^k(n)$ (tratar de comprobar si usted no ha visto antes)

Desde que empezamos con $13^{2013}$, claramente $13|13^{2013}$, por lo que mediante la aplicación de $P$ varias veces nos preguntamos si podemos llegar al $2013^{13}$

Observe sin embargo que $13\nmid 2013^{13}$ desde $13$ es el primer y $13\nmid 2013$ (por el teorema fundamental de la aritmética y desde el primer descomposición de $2013$$3\cdot 11\cdot 61$)

Se deduce entonces que no existe un $k$ tal que $P^k(13^{2013})=2013^{13}$ desde la L. H. S. es un múltiplo de a $13$ mientras que la de R. H. S. no.