¿Cómo puedo probar que la mediana es una función no lineal?

Question

Mi pregunta sale de la respuesta a esta pregunta, desde que me enteré de que una "función lineal" es cualquier función de $f$ con las propiedades de aditividad y la homogeneidad de grado 1:

$$ f(x + y) = f(x) + f(y) \\ f(ax) = af(x) $$

Sólo reflexionando sobre la fórmula de la mediana a mí me parece que la función no tiene aditividad, pero tiene la homogeneidad de grado 1. Yo estoy en lo correcto acerca de esto? Cómo puedo probar lo que la respuesta correcta es?

Answer 1

La mediana es homogénea de grado 1

Deje $a$ ser un verdadero escalar y $\mathbf{x}$ ser un vector en $\mathcal{R}^n$. Permítanos número de los elementos de $\mathbf{x}$ en orden, de manera que $x_1 \leq x_2 \leq \ldots \leq x_n $. Deje $x_m = f(\mathbf{x})$ ser la mediana de $\mathbf{x}$.

Observe que para $a \geq 0$, los elementos del vector $a\mathbf{x}$ tienen el mismo orden: $$ a x_1 \leq \ldots \leq a x_m \leq \ldots \leq a x_n $$ Y para $a < 0$ el orden es el inverso: $$ a x_n \leq \ldots \leq a x_m \leq \ldots \leq a x_1 $$ En cualquier caso, $ax_m$ está en el medio, es la mediana.

La mediana de viola aditividad

Contraejemplo a la aditividad: $$\mathbf{x} = \left[\begin{array}{c}2 \\ 4 \\ 6 \end{array} \right] \quad \quad \mathbf{y} = \left[\begin{array}{c} 0 \\ -4 \\ 4 \end{array}\right] \quad \quad \mathbf{x} + \mathbf{y} = \left[\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 10 \end{array}\right] $$

$$ f(\mathbf{x}) = 4\quad \quad f(\mathbf{y}) = 0 \quad \quad f(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = 2$$

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Pedante párrafo: si todos los elementos de la $\mathbf{x}$ $\mathbf{y}$ están en orden ascendente (o descendente) de la orden, entonces la mediana satisface aditividad.

Answer 2

La OP es la correcta-de mediana no es lineal ya que la suma no se sostiene, pero la homogeneidad de grado $1$ mantiene.

Aditividad no se sostiene

Nos muestran por contraejemplo que la aditividad no se sostiene: vamos a $x=(0,1,2)$ $y=(2,0,0)$ y deje $f$ ser la asignación de un vector a la mediana de sus elementos. Ahora, $f(x)=1,~f(y)=0$, por lo que, \begin{equation} f(x+y) = f((2,1,2)) = 2 \neq 1 = f(x) + f(y). \end{equation}

La homogeneidad de grado 1 tiene

La homogeneidad de grado $1$, de hecho, tiene como postulado en la respuesta:la multiplicación por un escalar no cambiar el orden (excepto por invertir si el escalar es negativo, pero eso no cambia que está en el medio), así que si la mediana de $x$$x_i$, entonces también la mediana de $a\,x$$a\,x_i$. Para un número par de elementos, el razonamiento funciona si la mediana se define como el promedio de los dos de en medio de los elementos.

Answer 3

En primer lugar, la mediana minimiza el error absoluto (Hurley, 2009) y $\mathrm{abs}$ no es una función lineal.

Como acerca de $\alpha f(x) = f(\alpha x)$, no puede haber dos interpretaciones dependiendo de si usted pregunta acerca de caso donde $\alpha$ es un escalar o un vector. Vamos a considerar en ambos casos, pero en primer lugar recordar que calcular la mediana de la clasificación de los valores y tomando la de en medio.

1. Si $\alpha$ es un escalar (como se deduce de la definición), a continuación, $\alpha f(x) = f(\alpha x)$ mantiene desde multiplicando $x$ por un escalar no cambia el orden.

2. Si $\alpha$ es un vector, luego se toman por su valor nominal no tiene mucho sentido, ya que la mediana es una función que se asigna a $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$, como notado por @JuhoKokkala. En tal caso sólo podemos reformular su pregunta a la comparación de la multiplicación de los vectores y, a continuación, ordenar, frente a ordenar y, a continuación, multiplicando. En tal caso, el ordenamiento de los elementos en $x\alpha$ puede ser diferente , a continuación, ordenar de $x$. Así que en ambos casos usted puede tomar diferentes $x_i$ multiplicado por el $\alpha_i$ como su mediana.

Usted puede fácilmente producir ejemplos numéricos para convencerse de que:

set.seed(123)

N <- 51
x <- rnorm(N)
a <- runif(N)

(x*a)[order(x*a)][(N+1)/2]         # multiply and then sort
(x[order(x)]*a[order(x)])[(N+1)/2] # sort and then multiply

Es similar para $f(xy) = f(x) + f(y)$ donde $x$ $y$ son vectores, ya que la suma de los elementos puede cambiar el orden (de nuevo, esto es muy simple para comprobar numéricamente).

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Hurley, W. J. (2009) Un Enfoque Inductivo para Calcular el MLE para el Doble de la Distribución Exponencial. Diario de Moderno Aplicado Métodos Estadísticos: 8(2), Artículo 25.