Asíntotas horizontales.

Question

Encuentre todas las asíntotas de: $$f(x) = \frac{a + be^x}{ae^x+b}$$

La forma en que me han enseñado es que el $+a$ $+b$ en el numerador y denominador, respectivamente, no contribuyen cuando x tiende a infinito, por lo tanto, son insignificantes. A la izquierda con $f(x) = \frac{be^x}{ae^x} = \frac{b}{a}$, $y = \frac{b}{a}$ es la única asíntota yo era capaz de identificar (a través de este método).

Sin embargo, el trazado de la función con $a = 3$$b = 2$, es evidente que existe otra asíntota horizontal, donde $y = \frac{a}{b}$:

Hay alguna manera de que yo pueda hemos conocido acerca de la segunda asíntota sin la representación gráfica?

Answer 1

Tenga en cuenta que $\displaystyle f(x)=\frac{1}{f(-x)}$. Entonces, si$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)=L\not=0$ entonces$\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)=\frac{1}{L}$.

Answer 2

La línea$y = L$ es una asíntota horizontal de una función$f$ si$$\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ $ o$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$ $ Mientras que las funciones racionales tienen como máximo una asíntota horizontal, una función puede tener dos horizontales diferentes. asíntotas.

Tenga en cuenta que$$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ $ Por lo tanto,$$\lim_{x \to \infty} \frac{a + be^x}{ae^x + b} = \lim_{x \to \infty} \frac{a + be^x}{ae^x + b} \cdot \frac{e^{-x}}{e^{-x}} = \lim_{x \to \infty} = \frac{ae^{-x} + b}{a + be^{-x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{ae^x + b}{a + be^x} = \frac{b}{a}$ $ siempre que$a \neq 0$, y$$\lim_{x \to -\infty} \frac{a + be^x}{ae^x + b} = \frac{a}{b}$ $ siempre que$b \neq 0$.