Para derivar la reciprocidad cuadrática de la reciprocidad de Artin, considere las extensiones de campo $$\mathbb{Q} \subset F=\mathbb{Q}(\sqrt{p^*}) \subset K=\mathbb{Q}(\zeta)$$ donde $p$ es un primo $\ne 2$ , $\zeta$ es una primitiva $p$ raíz de la unidad, y $p^* = (-1)^{(p-1)/2} p$ .
(Para ver que $F$ está contenida en $K$ (Busca las sumas de Gauss).
Dejemos que $q$ ser otro primo, $q \ne p, q \ne 2$ . Sabemos que $p^*$ es un cuadrado mod $q$ si $q$ se divide en $F$ si el símbolo de Artin de $q$ en $F/\mathbb{Q}$ es trivial. (Todos los grupos de Galois considerados aquí son abelianos, por lo que el mapa de Artin sólo depende del primo base $q$ y no en un primo particular en el campo superior).
El símbolo Artin de $K/\mathbb{Q}$ sobre el primer $q$ es el elemento $\sigma_q: \zeta \mapsto \zeta^q$ en el grupo de Galois de $K/\mathbb{Q}$ .
Pero Artin( $F/\mathbb{Q}$ ) es la restricción de Artin( $K/\mathbb{Q}$ ) a $F$ , por lo que Artin( $F/\mathbb{Q}$ ) es trivial si $\sigma_q$ está en el núcleo de este mapa de restricción. Ambos grupos de Galois son cíclicos, por lo que este mapa de restricción es el único homomorfismo no trivial de $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ a $\{\pm 1\}$ . Es fácil comprobar que $\sigma_q$ estará en el núcleo del mapa de restricción si $q$ es un cuadrado mod $p$ .
Conclusión: $p^*$ es un cuadrado mod $q$ si $q$ es un cuadrado mod $p$ . Esto es reciprocidad cuadrática.
Para otras leyes de reciprocidad, tendrá que elegir el campo $F$ de manera diferente. Por ejemplo, para la reciprocidad cúbica, elija $F$ para ser la única extensión de grado 3 en $K/\mathbb{Q}$ . (Por supuesto, esto sólo existe si $p \equiv 1$ (mod 3), pero si esa condición falla entonces la reciprocidad cúbica no es muy interesante: todo será un cubo mod $p$ .) La cosa se complica porque el análogo del paso " $p^*$ es un cuadrado mod $q$ si $q$ se divide en $F$ "no es tan sencillo. Pero es la misma idea.
Edición: Este último párrafo no es del todo correcto. Las extensiones adecuadas a considerar para la reciprocidad cúbica es $L \subset L(p^{1/3})$ donde $L = \mathbb{Q}(\omega)$ , $\omega$ una raíz cúbica primitiva de la unidad. El conductor de Artin de esta extensión es un divisor de $3p$ y dado un primo $q \equiv 1$ (mod 3) en $L$ (relativamente primo a $3p$ ), la imagen del ideal $(q)$ dado por la reciprocidad de Artin es esencialmente el único mapa no trivial del grupo cíclico $(O_L / q)^{\times}$ al grupo cíclico Gal( $L(p^{1/3})/L$ ) de orden 3. Para más detalles, véase la tesis doctoral de Noah Snyder a la que hace referencia KCd en los comentarios anteriores. En general $n$ a la reciprocidad del poder, el uso $L \subset L(p^{1/n})$ donde $L$ es el campo ciclotómico generado por una primitiva $n$ raíz de la unidad.
