$a=\frac{3b}{b-3}$ Encuentre todos los valores de$b$ donde$a$ es un entero positivo.

Question

Aquí está el problema:$$ a = \frac{3 b}{b-3} $$ $a$ $b$ son enteros positivos. Usted tiene que encontrar todos los posibles valores de $b$ donde $a$ es un entero positivo. Una vez que todos los valores de $b$ ha sido encontrado, usted tiene que demostrar que ellos son los únicos valores posibles de $b$.

Lo he intentado

He encontrado 2 los valores de a y b: (4, 12) y (6, 6). Tengo este en su mayoría por suerte, que no es lo que estoy buscando. He también escribió un código que confirmó que estas eran las únicas combinaciones de $b=100,000$, sin embargo, me gustaría un método matemático para resolver este tipo de preguntas.

Desde $a$ es un número entero, esto implica que $3b$ es divisible por $b-3$. Escribí expresó como $3 b = (b-3)\cdot m$ donde $m$ es un número natural. Traté de usar esto para demostrar que los valores que se encuentra por encima fueron los únicos valores posibles, sin embargo fue en vano.

Podría alguien por favor explique cómo plantear y resolver problemas como este (donde usted tiene que encontrar todos los valores posibles y demostrar que ellos son los únicos valores posibles)? Gracias por su tiempo.

Answer 1

Insinuación:

PS

Ahora, ¿cuáles son los Divisores de Aliquot de$$\dfrac{3b}{b-3}=\dfrac{3(b-3)+9}{b-3}=3+\dfrac9{b-3}$

Nota $9?$

Answer 2

Insinuación:

Primero observamos que$b > 3$ sigue que el numerador es mayor que$9$. Luego hacemos lo siguiente:$$\frac{3b}{b - 3} = \frac{3b}{b - 3}\times 1 = \frac{3b}{b - 3}\times \frac{b + 3}{b + 3}$$ We do this because $ b + 3$ is the conjugate of $ b - 3$. $$\frac{3b}{b - 3} = \frac{3b(b + 3)}{(b - 3)(b + 3)} = \frac{3b^2 + 9}{b^2 - 9}$ $

PS

Esto implica que$$\therefore a(b^2 - 9) = ab^2 - 9a = 3b^2 + 9 \Rightarrow a = \frac{b^2(a - 3) - 9}{9} = \frac{1}{9}b^2(a - 3) - 1$ pero de acuerdo con los ejemplos de$9\mid b^2(a - 3)$ que ha encontrado, parece que$(a, b)$, aunque esto es solo una mera suposición. Espero que esto haga el problema más fácil :)