¿Es la ley de Torricelli "incorrecta" para agujeros grandes? - Problema de drenaje del tanque

Question

Considere un tanque lleno de agua con un área transversal constante A1 colocado verticalmente en el suelo. Ahora, alguien perfora un agujero de un área A2 en la parte inferior del tanque, y el líquido comienza a escapar a través del agujero con una velocidad v2. Al mismo tiempo, la superficie abierta del agua en el tanque caerá con una velocidad v1. Para que la masa se conserve, debe ser cierto lo siguiente (se asume que el agua es incompresible):

Estamos interesados en v2. Así es como todos lo derivan:

Tome la ecuación de Bernoulli y asuma que la presión está en la parte superior y que la presión en la parte inferior del cilindro es atmosférica:

h2 es la altura en la parte inferior del tanque y h1 es la altura en la parte superior del tanque, y g es la aceleración gravitacional. Simplemente establecemos h2=0, por lo que nos queda:

Todo aquel que haya resuelto este problema hace la siguiente suposición en este punto:

"como A2 << A1, entonces v1" (lo que se deduce de la primera ecuación) Esto simplifica la ecuación anterior a la ley de Torricelli:

Pero, ¿qué sucede si no hacemos esa suposición sobre el tamaño del agujero y simplemente sustituimos la primera ecuación? ¿Puede esto ser realmente cierto?:

Si uno eliminara por completo la parte inferior del tanque, para que A2 se acercara a A1, entonces la velocidad se acercaría a infinito... esto obviamente no es posible (si se elimina la parte inferior del tanque, entonces el agua debería comportarse como un objeto que cae libre, ¿verdad?) He encontrado a otros que han derivado la misma función para v2(h) como la de arriba (por ejemplo, la primera respuesta en este hilo: "Velocidad con respecto al tiempo en la Ley de Torricelli"). - Y esta simulación falla si se establecen las dos áreas como iguales: http://demonstrations.wolfram.com/TorricellisTheorem/.

Entonces, la pregunta es: ¿Qué efecto tiene, si eliminamos la suposición de que "A2<< A1" en la derivación de la ley de Torricelli?

Answer 1

No creo que este sea un problema tan grande como parece.

Considera la suposición de estado estable con más detalle. $v_2$ es la velocidad final que pasa a través del agujero después de que haya pasado suficiente tiempo para que ocurra la aceleración. Justo después de abrir el agujero todo está estacionario. Hay una fase de aceleración que normalmente se asume que toma un corto período de tiempo.

Esta suposición es distinta de la suposición $A_1 \gg A_2$, pero la combinación de ambas arruina los escenarios donde el agujero es grande en comparación con el área de la superficie del agua. Después de todo, $h_1$ está en la expresión de $v_2$. Eso significa que tenemos dos factores en juego: 1) la aceleración inicial del fluido suprime la velocidad al principio y 2) la disminución del nivel de agua suprime la velocidad hacia el final del flujo. Entonces, para responder a tu pregunta:

Entonces la pregunta es: ¿Qué efecto tiene, si eliminamos la suposición de que "A2 << A1" en la derivación de la ley de Torricelli?

Creo que lo hiciste correctamente. El flujo infinito se predice debido a suposiciones obviamente incorrectas. Simplemente no tiene tiempo para acelerar antes de que el nivel de agua disminuya sustancialmente, y podrías usar esto para derivar algunos límites de aplicabilidad muy claros, fuera de los cuales, el flujo nunca se acerca a la predicción de la ecuación.

Answer 2

El principio de Bernoulli es una simplificación de las ecuaciones de Navier-Stokes, asumiendo una densidad constante y un estado estacionario.

En la situación en la que $A_2$ tiene casi la misma área de superficie que $A_1$ será difícil cumplir con la suposición de que el sistema está en estado estacionario. En la vida real también habrá algunas pérdidas por fricción, pero si se ignoran, entonces en efecto se puede decir que el líquido está en caída libre, por lo tanto la velocidad aumentará linealmente con el tiempo y nunca se alcanzará el estado estacionario.

También hay que tener en cuenta que cuando el agujero se acaba de abrir, el flujo tampoco estará en estado estacionario. Sin embargo, el tiempo que se necesita para alcanzar una velocidad de flujo aproximadamente constante suele ser muy pequeño en comparación con el tiempo que se tarda en vaciar el tanque.

Answer 3

La ley de Torricelli es incorrecta incluso para agujeros pequeños.

Él usó, mgh = 1/2 m v2. Energía potencial perdida. Pero la masa que sale del agujero no tiene energía potencial mgh.

https://scholaristic.blogspot.com/2023/12/correcting-evangelista-torricellis-law.html

Actualización:

Energía potencial del líquido no es Mgh sino 1/2 Mgh.

La ley de Torricelli debe haber sido derivada por observaciones. Derivación correcta.