Variación de la cantidad de carreras de caras consecutivas en los lanzamientos de monedas con sesgo$n$

Question

Supongamos que tenemos una secuencia de $n$ coin flips de una visión sesgada de la moneda con probabilidad de $p$ de los jefes. Deje $X_n$ ser la variable aleatoria que registra el número de carreras de consecutivos cabezas, por ejemplo, THHTHTHH tiene 3 pistas de cabezas. Por la linealidad de la expectativa, $E(X_n)$ es la suma de $n$ las probabilidades de contraer una carrera de jefes de partida en el coin flip $j$$1 \leq j \leq n$. Para $j = 1$ esta probabilidad es $p$, y para $j > 1$ debemos tener flip $j-1$ es de las colas y flip $j$ es mano a mano, que tiene probabilidad de $p(1-p)$. Por lo $E(X_n) = p + (n-1)p(1-p)$. ¿Qué acerca de Var$(X_n)$? Es allí cualquier manera de calcular una fórmula? O si no, al menos asymptotics?

Answer 1

Siguiendo con la idea de su derivación: vamos a $t_i$ $1$ si de una carrera de jefes comienza en moneda de número de $i$ ($i=1 \cdots n$), $0$ de lo contrario. A continuación, $X_n = \sum_{i=1}^n t_i$ y

$$ P(t_i=1)=E(t_i)= \begin{cases} p & \text{if %#%#%} \\ p(1-p) & \text{otherwise} \\ \end{casos} $$

El var $i=1$ no son independientes, sino $t_i$ como usted ya se encuentra. Ahora vamos a calcular $E(X_n)=\sum E(t_i) = p + (n-1)p (1-p)$$

Los términos de la suma se pueden agrupar en:

A) $$E(X^2_n)= E\left[\left(\sum t_i \right)^2\right]=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n E(t_i t_j)$: (con $i=j$ términos) $n$. La suma de estos términos es $E(t_i t_j)=E(t_i^2)=E(t_i)$.

B) $p + (n-1)p (1-p)$: (con $|i-j|=1$ términos). Aquí uno de los dos debe ser cero,por lo $2 \times (n-1)$

En el resto, las variables $E(t_i t_j)=0$ son independientes. Por lo tanto

C) $t_i,t_j$ $|i-j|>1$ o $i=1$ : (con $j=1$ términos) $2\times(n-2)$

D) $E(t_i t_j) = p^2(1-p)$$|i-j|>1$$i>1$ : (con $j>1$ términos) $n^2-5n +6$

Finalmente

$E(t_i t_j) = p^2(1-p)^2$$

$$Var(X_n) = E(X_n^2) - E(X_n)^2 = \left( 1-p\right) \,p\,\left( 3\n\,{p}^{2}-5\,{p}^{2}- 3 \ n\,p+3 p+n\right)=\\ =\left( 1-p\right) \,p\,\left[ n\,\left( 3\,{p}^{2}-3\,p+1\right) -p\,\left( 5\,p-3\right) \right]$$

Como señaló Hizo en un comentario, esto es válido para $$E(X_n^2)=p+\left( n-1\right) \,\left( p-1\right) \,p+ 2\,\left( n-2\right) \,\left( 1-p\right) \,{p}^{2}+\left( {n}^{2}-5\,n+6\right) \,{\left( 1-p\right) }^{2}\,{p}^{2}$; si $n\ge 4$ el grupo D se desvanece; si $n<4$, solo Una sobrevive. Entonces

$n\le 2$$

Answer 2

Aquí está una modesta contribución. Clasificar las secuencias binarias de acuerdo a la diferencia en el número de carreras de cabezas y colas. Este es cero, uno o menos uno. Vamos a representar a estos con cuatro bivariado probabilidad de generar funciones con $z$ contando el total de la longitud de la secuencia y $u$ contando el número de carreras de cabezas.

Para el mismo número de carreras, tendremos la siguiente generación de funciones (dependiendo de si comenzamos con cara o cruz): $$G_1(z, u) = \sum_{k=0}^\infty u^k \left(\frac{pz}{1-pz}\frac{(1-p)z}{1-(1-p)z}\right)^k = {\frac {1+ \left( -{p}^{2}+p \right) {z}^{2}-z}{1+p \left( u-1 \right) \left( -1+p \right) {z}^{2}-z}}$$ y $$G_2(z, u) = \sum_{k=0}^\infty u^k \left(\frac{(1-p)z}{1-(1-p)z}\frac{pz}{1-pz}\right)^k = {\frac {1+ \left( -{p}^{2}+p \right) {z}^{2}-z}{1+p \left( u-1 \right) \left( -1+p \right) {z}^{2}-z}}.$$ El paralelismo es evidente. Si no es uno más de los jefes de colas obtenemos $$G_3(z, u) = u\frac{pz}{1-pz} \sum_{k=0}^\infty u^k \left(\frac{pz}{1-pz}\frac{(1-p)z}{1-(1-p)z}\right)^k \\= {\frac {pz \left( -arriba{z}^{2} \left( -1+p \right) -uz+u \right) }{ \left( -pz+1 \right) \left( 1+p \left( u-1 \right) \left( -1+p \right) {z}^{2}-z \right) }}.$$ Por último, si hay una carrera de las colas de las cabezas obtenemos $$G_4(z, u) = \frac{(1-p)z}{1-(1-p)z} \sum_{k=0}^\infty u^k \left(\frac{(1-p)z}{1-(1-p)z}\frac{pz}{1-pz}\right)^k \\ = {\frac { \left( 1-p \right) z \left( 1+ \left( -{p}^{2}+p \right) {z}^ {2}-z \right) }{ \left( 1- \left( 1-p \right) z \right) \left( 1+p \left( u-1 \right) \left( -1+p \right) {z}^{2}-z \right) }}.$$ La generación de la función para todos los casos está dada por $$G(z, u) = G_1(z,u) + G_2(z,u) + G_3(z, u) + G_4(z, u)\\ = {\frac {{z}^{2}{p}^{2}u{z}^{2}{p}^{2}-{z}^{2}pu+upz+{z}^{2}p-pz-z+2}{ {z}^{2}{p}^{2}u{z}^{2}{p}^{2}-{z}^{2}pu+{z}^{2}p-z+1}}.$$ Observar que $$G(z, 1) = \frac{2-z}{1-z} = \frac{2}{1-z} - \frac{z}{1-z}$$ así que para $n>1$ hemos $$[z^n] G(z, 1) = 2 - 1 = 1,$$ lo que confirma que el $[z^n] G(z,u)$ es de hecho una probabilidad de generación de función (suma de las probabilidades a uno).

Ahora tenemos la expectativa de que $$\mathrm{E}[X_n] = [z^n] \left. \frac{d}{du} G(z, u) \right|_{u=1}.$$ Esto funciona a $$[z^n] \frac{pz (1-pz)}{(1-z)^2} = p [z^{n-1}] \frac{1}{(1-z)^2} - p^2 [z^{n-2}] \frac{1}{(1-z)^2} \\= p n - p^2 (n-1) = p + (n-1)\times p(1-p),$$ confirmando el resultado citado en el texto de la pregunta.

Para calcular la varianza de la necesaria factorial momento, que es $$\mathrm{E}[X_n (X_n-1)] = [z^n] \a la izquierda. \left(\frac{d}{du}\right)^2 G(z, u) \right|_{u=1}.$$ Esto funciona a (fórmula es válida para $n\ge 4$ como se explicó en la respuesta definitiva) $$[z^n] \frac{2p^2 z^3 (1-p) (1-pz)}{(1-z)^3}\\ = 2p^2 (1-p) [z^{n-3}] \frac{1}{(1-z)^3} - 2p^3 (1-p) [z^{n-4}] \frac{1}{(1-z)^3} \\= 2p^2 (1-p) {n-3+2\elegir 2} - 2p^3 (1-p) {n-4+2\elegir 2} \\= \left( -1+p \right) {p}^{2} \left( n-2 \right) \left( pn-n-3\,p+1 \right)$$

Para concluir, recordemos que $$\mathrm{Var}(X) = \mathrm{E}(X^2) - \mathrm{E}(X)^2 = \mathrm{E}(X(X-1)) + \mathrm{E}(X) - \mathrm{E}(X)^2$$ para obtener $$\mathrm{Var}(X_n) =- \left( -1+p \right) p \left( 3\,{p}^{2}n-3\,pn-5\,{p}^{2}+n+3\,p \right)$$ que es $$(1-p)p \left((1-3p(1-p))\times n + 3p-5p^2\right).$$

Secuencia A001792 es relevante para este cálculo.

Adenda. El lector puede observar que el $G_{1,2,3,4}(z,u)$ son todos los múltiplos de $G_1(z,u)$, aunque este no aparece para simplificar el cálculo.

Answer 3

Parece que tenemos dos resultados diferentes de la varianza. Para investigar esto escribí algunos de Arce código para calcular $[z^n] G(z,u)$ directa de la enumeración. En cuanto a lo que he publicado anteriormente directa de generación de función parece coincidir con el algebraicas uno y lo mismo va para la expectativa y la varianza.

Aquí es $[z^3] G(z, u)$ $$ \left( 1-p \right) ^{3}+3\,p \left( 1-p \right) ^{2}u+2\,{p}^{2} \left( 1-p \right) u+{p}^{2} \left( 1-p \right) {u}^{2}+{p}^{3}u $$ y esto es $[z^4] G(z, u)$ $$ \left( 1-p \right) ^{4}+4\, \izquierda( 1-p \right) ^{3}pu+3\,{p}^{2} \left( 1-p \right) ^{2}u+3\,{p}^{2} \left( 1 -p \right) ^{2}{u}^{2}\\+2\,{p}^{3} \left( 1-p \right) u+2\,{p}^{3} \left( 1-p \right) {u}^{2}+{p}^{4}u.$$

Estas dos funciones de generación puede ser verificado con la pluma y el papel. Para concluir, he aquí cómo se calcula. Las dos funciones mom_ex y mom_var calcular los momentos, es decir, la expectativa y la varianza. Tenga en cuenta que $[z^{11}] G(z,u)$ sólo ha $37$ términos, por lo que este cálculo es bastante razonable.

ev :=
proc(n)
 opción de recordar;
 local p, d, pos, pb, pf, i, gf;


 gf := 0;

 para q de 2^n 2^(n+1)-1 ¿
 d := convert(q, base, 2);

 si d[1] = 1, entonces
 r := 1;
 pf := p;
 pb := p;
otra cosa
 r := 0;
 pf := 1-p;
 pb := 1-p;
fi;

 pos a n-1 hacer
 si d[pos] <> d[pos+1] entonces
 si d[pos+1] = 1, entonces i := i+1; fi;
 pf := 1-pf;
fi;
 pb := pb*pf;
od;

 gf := gf+pb*u^r;
od;

gf;
end;

mom_ex :=
proc(n)
 expanda(subs(u=1, diff(ev(n), u)));
end;

mom_var :=
proc(n)

 expanda(subs(u=1, diff(ev(n), u$2)))
 + mom_ex(n)-mom_ex(n)^2;
end;