Problemas reducibles al hallazgo de la raíz polinomial.

Question

En el pasado, he notado varios problemas para los que la solución va algo como esto:

• Reducir el problema a una ecuación polinómica
• Encontrar las raíces del polinomio
• Interpretar de forma adecuada en el contexto del problema original

Algunos ejemplos que inmediatamente vienen a la mente son

• Resolución lineal homogéneo de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes
• Encontrar los valores propios de una matriz
• Bosquejar la respuesta en frecuencia de un sistema LTI

Tengo un par de preguntas acerca de esto:

1. ¿Qué es tan especial acerca de los polinomios que hace que sus raíces codificar las soluciones para una amplia gama de problemas?

2. ¿Cuáles son algunos más problemas de este tipo? Me gustaría compilar una lista grande de estos.

Answer 1

Respondiendo a la pregunta de por qué los polinomios son un objeto universal no es fácil. Es notable cómo a menudo se presentan en todas las áreas de las matemáticas.

Mi ejemplo favorito de los polinomios de hacer cosas interesantes es la Cyclotomic Polinomios cuyas raíces son las raíces primitivas de la unidad. Me gusta mucho este ejemplo porque Mobius inversión nos da una fórmula explícita para la cyclotomic polinomios.

En la parte inferior de esta Wikipedia el artículo es una lista de polinomios que se presentan en las diversas áreas de las matemáticas.