Un grupo con un subgrupo normal finitamente generado y un cociente finitamente generado es a su vez finitamente generado

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo con $G \trianglerighteq N$ subgrupo normal. Supongamos que $N$ está generada finitamente, y $G /N$ (el grupo cociente) también está generado finitamente. Es $G$ ¿Generado finitamente?

Creo que la respuesta es no, y quería utilizar el siguiente ejemplo: $G = \mathbb{Q}$ , $N=\mathbb{Z}$ . La única pregunta que me queda es cómo demostrar que $\mathbb{Q} /\mathbb{Z}$ es generada finitamente? (si es que lo es).

Y si no lo es, ¿alguna otra idea?

Answer 1

Sugerencia: si $G/N=\langle \bar{g_1}, \bar{g_2}, \cdots, \bar{g_k} \rangle$ entonces ciertamente $G=\langle g_1, g_2, \cdots, g_k \rangle N$ . Así que si además $N$ está generada finitamente, ¿qué se puede concluir sobre $G$ ?

Answer 2

Creo que $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ no es un grupo abeliano finitamente generado.

Dejemos que $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}=<q_1+\mathbb{Z},...,q_n+\mathbb{Z}>$ entonces podemos encontrar $a_1,...,a_n\in\mathbb{Z}$ y $b\in\mathbb{N}$ st $q_i=\dfrac{a_i}{b}$ . Ahora bien, si $p$ es un primer st $p\not| b$ entonces $\dfrac{1}{p}+\mathbb{Z}\not\in \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ ¡contradicción!

(Si $\dfrac{1}{p}+\mathbb{Z}\in\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ entonces $\dfrac{1}{p}+\mathbb{Z}=l_1\dfrac{a_1}{b}+...+l_n\dfrac{a_n}{b}+\mathbb{Z}\Rightarrow p|b$ )

Así que para la pregunta inicial como dice @Nicky Hekster

Dejemos que $g\in G$ entonces $g+N\in G/N$ así que $g+N=a_1g_1+N+...+a_ng_n+N=(a_1g_1+...+a_ng_n)+N$ pero $N$ está generada finitamente por lo que ...

$g-a_1g_1+...+a_ng_n=m\in N=<q_1,...,q_k>\Rightarrow g= \sum a_ig_i+\sum b_j q_j $