Encontrar un valor de 5 sistemas de ecuaciones de 5 variables (CHMMC 2014)

Question

$$\text{For } a_1\cdots a_5\in \mathbb{R},$$$ $\frac{a_1}{k^2+1}+\cdots+\frac{a_5}{k^2+5}=\frac{1}{k^2}$ $$$\forall k=\{2,3,4,5,6\}$$$ $\text{Find }\frac{a_1}2+\cdots+\frac{a_5}6$ $La explicación provista / la solución oficial fue$$\text{Solution }1:\large{\frac{65}{72}}$ $Por favor, no marque esto como fuera de tema, tengo No hay idea de por dónde empezar. Claramente, no sería factible calcular$a_1\cdots a_5$.

Answer 1

Permitir que $$\sum_{i=1}^{5} \frac{a_i}{x+i} = \frac{P(x)}{Q(x)}$$ where $P (x)$ is a polynomial of degree $4$, and $Q% #% 5$ of degree $x ^ 4$. The coefficent of $P (x)$ in $\ suma a_i$ is $Q (x) = \ prod_ {k = 1} ^ {5} (x + k)$

Tenemos que

PS

como para $and$.

para$$x P(x) - Q(x) = 0$Por lo tanto,$0 = \dfrac{P(x)}{Q(x)} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x P(x) - Q(x)}{xQ(x)}

(como$x = 2^2, 3^2, \dots, 6^2$ es un polinomio de grado$x = 2^2, 3^2, \dots, 6^2$, y el coeficiente principal$$xP(x) - Q(x) = K \prod_{k=2}^6 (x - k^2)$)

Estamos mirando$xP(x) - Q(x)$ $

Ahora$5$ y$\sum a_i -1$

Ahora necesitamos averiguar ese valor$$\frac{P(1)}{Q(1)} = \frac{Q(1) + K\prod_{k=2}^6 (1 - k^2)}{Q(1)}$. Esto podemos, configurando$Q(1) = 6! = 720$en$\prod_{k=2}^{6} (1-k^2) = -302400

Answer 2

A partir de $\displaystyle \frac{a_1}{k^2+1}+\cdots+\frac{a_5}{k^2+5}=\frac{1}{k^2}$ le gustaría conectar en $k^2=1$ y obtener

$$\frac{a_1}{2}+\cdots+\frac{a_5}{6}=1$$

De hecho, la respuesta correcta es ligeramente menor. Podemos añadir cualquier función racional $f(k)$ que se desvanece en todos los de $k^2 = 2,3,4,5,6$. Así que se van a definir $f(x) = K \cdot \prod_{k=2}^6 (x - k^2)$ donde $g(x)$ puede ser cualquier polinomio.

$$\frac{a_1}{x^2+1}+\cdots+\frac{a_5}{x^2+5}=\frac{1+ K \cdot \prod_{k=2}^6 (x - k^2)}{x^2} \tag{$\ast$}$$

Si establecemos $x= 0$ el lado derecho es indefinido, pero podemos cruz multiplicar:

$$\begin{eqnarray} x^2 \left( \frac{a_1}{x^2+1}+\cdots+\frac{a_5}{x^2+5} \right)&=&1+ K \cdot \prod_{k=2}^6 (x - k^2) \\ 0&=&1 - K \cdot 6!^2 \end{eqnarray}$$

Tenemos que $\boxed{K = \frac{1}{6!^2}}$, a Continuación, enchufe $x=1$ a $(\ast)$

$$\frac{a_1}{2}+\cdots+\frac{a_5}{6}=\frac{1+ K \cdot \prod_{k=2}^6 (x - k^2)}{x^2} = 1 - \frac{(3\cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7)(1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5)}{6!^2 }$$

Este argumento no es del todo transparente como el lado derecho es apagado por un factor de 6.