Explicar el par/impar desigualdad en las alturas de números bajo la Collatz $(3x+1)/2$ transformación?

Question

Mi hijo me hizo una pregunta y me estoy encontrando difícil respuesta: si cada número en virtud de la aplicación repetida de la Collatz transformación¹ llega a la $1$, entonces debe ser cierto para ambos, incluso, y para los números impares. ¿Por qué, entonces, para los números de un dado "altura" (el número de divisiones antes de llegar a $1$, A00666 en la OEIS) hay muchas más, incluso los números de los números impares? Si a la mitad de un número, a continuación, $50$ % del tiempo, el resultado debe ser impar. Y si hay más números pares de los impares en cada altura, no se ejecuta, incluso de los números más rápidamente?

De hecho, la proporción de incluso:los números impares de una determinada altura es de aproximadamente $3:1$ (Pari/GP código de abajo).² Mi respuesta no fue satisfactoria: hay una infinita cantidad de números pares y los impares, a fin de no quedarse fuera de; y la transformación de un número impar sólo puede llevar a un subconjunto de los números pares ($x: x= 3k+1$) por lo que los demás no lo que realmente cuenta.

Es allí una manera más intuitiva para explicarlo?

¹ $C(x)= \begin{cases} \frac{x}{2}&\text{when x is even; and}\\ {3x+1}&\text{when x is odd.} \end{casos}$

² heights(n)= if(n==0,return([1]), n==1, return([2]), n==2, return([4]), my(h=heights(n-1)); my(l=List()); for(x=1,#h, listput(l,h[x]*2); if(h[x]%3==2, listput(l,(h[x]*2-1)/3)));return(Vec(l))) \\ Returns a vector of numbers with a given Collatz height

Answer 1

Tenga en cuenta que por un extraño $n$ el número de $3n+1$ es siempre un número par.

Por lo tanto, incluso si usted comienza con un conjunto de posibilidades iguales y pares, después de la primera iteración tiene más números de los números impares.

Por ejemplo, $$\{3,5,6,8\} \to \{10,16,3,4\}\to \{5,8,10,2\}\to \{16,4,5,1\}$$

Para remediar este patrón, puede redefinir su función como $$ C(x)= \begin{cases} \frac{x}{2}&\text{when x is even; and}\\ {(3x+1)/2}&\text{when x is odd.} \end{casos}$$

Answer 2

Cuando usted escribe la trayectoria o la altura de cualquier número de $n$, la trayectoria se "salta" de un montón de números, por lo tanto creando la ilusión de que hay más números de los números impares.

Cuando la escritura de la trayectoria, incluso, los números se muestran debido a que es necesario dividir el resultado parejo al menos una vez después de la realización de $3n+1$ e incluso que algunos números requieren múltiples divisiones de 2 antes de ser extraño de nuevo. Por cada vez que el $3n+1$ paso se realiza, el 50% de las veces sólo se necesita una división, el 25% del tiempo que se tarda dos divisiones, el 12.5% del tiempo sólo se tarda de 3 divisiones, y así sucesivamente causando que todas las trayectorias excepto 1 y 2 para tener más números.

El Collatz función crea espacios entre los números después de cada paso. Por ejemplo, la trayectoria 52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,... salta un montón de números de menos de 52. La única forma de llegar a esos números es empezar con los valores de $n$ o encontrar un valor de $n$ que contiene los valores en su trayectoria, lo que termina por saltar aún más los números y aprovechando la ilusión de que hay más números de los números impares. Cuando n = 27, sólo 111 números de 9232 números están conectados a una sola trayectoria, la mayoría de los omitidos de los números impares.

Otra manera de mirar esto es para crear un árbol de Collatz dado el tamaño de la muestra, y sólo la conexión de los números de acuerdo a la Función de Collatz, cuando los números existen. Por ejemplo, si el tamaño de la muestra es 10, entonces la trayectoria de 8-4-2-1 será completa, pero habrá un 6-3-10-5 "chunk", y los números 7 y 9 no se conecta a nada en absoluto. Como el tamaño de la muestra aumenta, el más pequeño de los números impares se conectará a más números más rápido, mientras que un gran número impar "trozos" crecerá lentamente. También habrá varios números impares que no tienen sus múltiplos de 2 sin embargo, debido a que los valores superan el tamaño de la muestra límite.

Otro ejemplo: n=100 (I $n$= 100-70), la puse repite en [].

100-50-25-76-38-19-58-29-88-44-22-11-34-17-52-26-13-40-20-10-5-16-8-4-2-1-...
99
98-49
97
96-48-24-12-6-[3...]
95
94-47
93
92-46-23-70-35
91
90-45
89
88-44-22-[11...]
87
86-43
85
84-42-21-64-32-[16...]
83
82-41
81
80-[40...]
79
78-39
77
[76...]
75
74-37
73
72-36-18-9-28-14-7-[22...]
71
[70...]

...

Answer 3

La razón por la que uno esperaría más, incluso los números que aparecen en una determinada altura en lugar de los números impares es el siguiente: el número de los números pares de la altura de la $n$ debe ser equivalente a la serie de los números impares de la altura de la$<n$. ¿Por qué es eso? Vamos a la altura de la extraña $g$$k<n$. Por lo tanto, $g\cdot 2^{n-k}$ tendrá la altura de la $n$.

Y en la mayoría de circunstancias, esperamos que el número de los números impares de la altura de menos de $n$ a ser mayor que el número de los números impares de altura exactamente $n$, especialmente para las grandes $n$.

Yo creo que su descubrimiento de una $3:1$ ratio para ser coincidencia.