Encontrar los ideales en $\begin{bmatrix} \mathbb{Q} & \mathbb{Q}\\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

Question

Busco encontrar las ideales izquierda, derecha y dos lados del anillo R = $\begin{bmatrix} \mathbb{Q} & \mathbb{Q}\\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ . Es en la búsqueda de los ideales de la izquierda donde estoy atascado.

Encontrar los ideales adecuados

Para encontrar los ideales correctos consideré un elemento no nulo $\begin{bmatrix} a & b\\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ de un ideal derecho arbitrario $I_{r}$ . A continuación, consideré dos casos.

Caso 1: $a\neq0$

Tenemos $\begin{bmatrix} a & b\\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a^{-1} & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}\in I_{r}$ . Por lo tanto, para cualquier $\begin{bmatrix} c & d\\ 0 & 0 \end{bmatrix} \in R$ que tenemos:

$\begin{bmatrix} c & d\\ 0 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} c & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & d\\ 0 & 0 \end{bmatrix} \in R$ . Es decir $I_{r}=R$ .

Caso 2: $a=0$

Tenemos $K=\{b\in\mathbb{Q}\mid\begin{bmatrix} 0 & b\\ 0 & 0 \end{bmatrix}\in I_{r}\}$ es un subgrupo aditivo de $\mathbb{Q}$ y $I_{r}=\begin{bmatrix} 0 & K\\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ . Además se puede comprobar que $\begin{bmatrix} 0 & K\\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ es un ideal derecho de $R$ . Por lo tanto, en este caso cualquier ideal es de la forma $\begin{bmatrix} 0 & K\\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ donde $K$ es un subgrupo aditivo de $\mathbb{Q}$ .

Encontrar los ideales de la izquierda

He probado una estrategia similar a la anterior. He considerado un elemento no nulo $\begin{bmatrix} a' & b'\\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ de un ideal de izquierda arbitrario $I_{l}$ . A continuación, intenté considerar dos casos.

Caso 1: $b'=0$

Tenemos $K'=\{a'\in\mathbb{Q}\mid\begin{bmatrix} a' & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}\in I_{r}\}$ es un subgrupo aditivo de $\mathbb{Q}$ y $I_{l}=\begin{bmatrix} K' & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ . Además se puede comprobar que $\begin{bmatrix} K' & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ es un ideal de izquierda de $R$ . Por lo tanto, en este caso cualquier ideal de la izquierda es de la forma $\begin{bmatrix} K' & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ donde $K'$ es un subgrupo aditivo de $\mathbb{Q}$ .

Es para el segundo caso que estoy atascado, no tengo ni idea de cómo proceder. Además, cuando encuentre los ideales, simplemente comprobaré si cada ideal izquierda/derecha que encuentre es un ideal derecha/izquierda. En general, ¿es esta la mejor manera de abordar esta cuestión?

Answer 1

Cuando se multiplica por $\begin{bmatrix} a & b\\0 & 0 \end{bmatrix}$ a la derecha, se obtiene sólo un múltiplo escalar por $a$ . Por lo tanto, el ideal de la izquierda generado por $\begin{bmatrix} a^{\prime} &b^{\prime}\\0&0 \end{bmatrix}$ es sólo la colección de todos los múltiplos escalares. Esto es independiente de si $b^{\prime}$ es $0$ o no.

Por ejemplo: El ideal de la izquierda generado por $\begin{bmatrix} 1 & 3\\0&0\end{bmatrix}$ es el conjunto $\left\lbrace\begin{bmatrix} a & 3a\\0&0\end{bmatrix} \ : \ a \in \mathbb{Q} \right\rbrace$

Otra forma de pensar en los ideales de la izquierda, su anillo es esencialmente el espacio vectorial $\mathbb{Q}^{2}$ (la multiplicación de un elemento a la izquierda sólo equivale a una multiplicación escalar). Así que cualquier subespacio será un ideal de la izquierda.