¿Qué Mumford decir con "una extensión" de aquí?

Question

De Mumford del Libro Rojo, en el Capítulo 2, Ejemplo K:

Tome $X = Y = \mathbb{P}^2$, y deje $x_0, x_1, x_2$ $y_0, y_1, y_2$ ser homogénea las coordenadas en la $X$$Y$. Deje $U_0 \subset X$ y $V_0 \subset Y$ se define como el abrir conjuntos de $x_0 x_1 x_2 \neq 0$ y $y_0 y_1 y_2 \neq 0$. Definir un isomorfismo entre el $U_0$ y $V_0$ por el mapa $y_i = 1/ x_i$. De hecho, esto es sólo una extensión el isomorfismo de la función de los campos:

$\begin{align} k\left(\frac{x_1}{x_0}, \frac{x_2}{x_0}\right) &\tilde\rightarrow k\left(\frac{y_1}{y_0}, \frac{y_2}{y_0}\right) \\\\ x_1/x_0 &\mapsto y_0/y_1 \\\\ x_2/x_0 &\mapsto y_0/y_2 \end{align}$

Estoy confundido en cuanto a qué se entiende por "extensión" de aquí, está presente no sólo en el mapa inducida por este mapa de la función de los campos? Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

Si $X$ $Y$ dos variedades, entonces cualquier isomorfismo $K(X) \cong K(Y)$ surge a partir de un isomorfismo $U \cong V$ de los no vacía de subconjuntos abiertos $U$$V$$X$$Y$, pero no es necesario ampliar a un isomorfismo $X \cong Y$ (aunque si lo hace, la extensión es único). En este caso se hace para extender y Mumford está comentando sobre ese hecho.

(El $X$ $Y$ de mi discusión se Mumford$U_0$$V_0$; lo siento por el indíquense los clash.)